Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Предположим противное. Для любых элементов a и b множества S мы можем выбрать такое целое c, которое больше каждого из них. Поскольку bc>a и c>b, имеем: f(a4b4c4)=f(a2)f(b2c2)=f(a2)f(b)f(c). Поскольку ac>b и c>a, имеем: f(a4b4c4)=f(b2)f(a2c2)=f(b2)f(a)f(c). Используя эти соотношения, для любых элементов a и b множества S получаем f(a2)f(b)=f(b2)f(a). Следовательно, f(a2)f(a)=f(b2)f(b). Отсюда следует, что существует такое положительное рациональное число k, что f(a2)=kf(a), для всех a∈S.(1) Подставляя в исходное функциональное уравнение, находим: f(ab)=f(a)f(b)k, для всех a,b∈S при a≠b.(2) Используя исходное функциональное уравнение и соотношения (1) и (2), получаем: f(a)f(a2)=f(a6)=f(a)f(a5)k=f(a)f(a)f(a4)k2=f(a)f(a)f(a2)k, для всех a∈S. Следовательно, f(a)=k для всех a∈S. Полагая a=2 и b=3 в исходном функциональном уравнении, имеем: k=1, но, 1∉S. Противоречие.
Не знаю, правильное ли мое решение, но вот:
f(a)f(b)f(c)=1)f(a2b2)f(c)=f(a4b4c2)
2)f(b2c2)f(a)=f(a2b4c4) so they are equal. f(a4b4c2)=f(a2)f(b2c) and f(a4b2c4)=f(bc2)f(a2) so f(bc2)=f(b2c). Let’s take such b,c that b=p2 and c=q2 then we get that: f(q2p4)=f(q4p2)→f(p)=f(q)=m→f(p)f(q)=m2=f(p2q2)=m→m=0,1. Противоречие.
Ответ:нет
c∈S
cm≠a,b
f(a)f(b)f(c2)=f(a2b2)f(c2)=f((abc)4)
f((abc)4)=f(a)f(ab2c2)
f((abc)4)=f(b)f(a2bc2)
f(a2b2)2f(c2)2=f(a2b2)f(a6b6c8)
f(a4b4c4)f(c2)=f(a6b6c8)
f(a8b8c12)=f(a6b6c8)
f(a3b3c3)f(c)=f(a3b3c3)f(abc3)
f(c)=f(abc3)
f(a4b4c2)=f((abc)6)
f(abc)f(ab)=f(abc)f((abc)2)
f(ab)=f(ab)f(c)→f(c)=1→∅◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.