Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год


Пусть S={2,3,4,} — множество всех целых чисел, не меньших 2. Существует ли функция f:SS, для которой при всех a,bS таких, что ab, выполнено равенство f(a)f(b)=f(a2b2)? ( Angelo Di Pasquale )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Предположим противное. Для любых элементов a и b множества S мы можем выбрать такое целое c, которое больше каждого из них. Поскольку bc>a и c>b, имеем: f(a4b4c4)=f(a2)f(b2c2)=f(a2)f(b)f(c). Поскольку ac>b и c>a, имеем: f(a4b4c4)=f(b2)f(a2c2)=f(b2)f(a)f(c). Используя эти соотношения, для любых элементов a и b множества S получаем f(a2)f(b)=f(b2)f(a). Следовательно, f(a2)f(a)=f(b2)f(b). Отсюда следует, что существует такое положительное рациональное число k, что f(a2)=kf(a), для всех aS.(1) Подставляя в исходное функциональное уравнение, находим: f(ab)=f(a)f(b)k, для всех a,bS при ab.(2) Используя исходное функциональное уравнение и соотношения (1) и (2), получаем: f(a)f(a2)=f(a6)=f(a)f(a5)k=f(a)f(a)f(a4)k2=f(a)f(a)f(a2)k, для всех aS. Следовательно, f(a)=k для всех aS. Полагая a=2 и b=3 в исходном функциональном уравнении, имеем: k=1, но, 1S. Противоречие.

пред. Правка 3   1
2 года 4 месяца назад #

f(69)f(692)f(693)f(694)f(695)

i)=f(696)(f(695)(f(694)f(693)=f(6922)f(6914)=f(6972)

ii)f(6916)f(694)f(692)f(69)=f(6934)f(692)f(694)=f(6972)f(694)

f(694)=1.

Невозможно.

  2
2 года 5 месяца назад #

а почему f(6918)f(694)f(695)=f(6972)?

  1
2 года 4 месяца назад #

потому что f(695)f(694)=f(6918), а f(6918)2=f(6972)

  2
2 года 4 месяца назад #

а вы не упускаете тот факт, что ab?

  1
2 года 4 месяца назад #

все, исправил, спасибо)

  1
3 года 1 месяца назад #

Не знаю, правильное ли мое решение, но вот:

f(a)f(b)f(c)=1)f(a2b2)f(c)=f(a4b4c2)

2)f(b2c2)f(a)=f(a2b4c4) so they are equal. f(a4b4c2)=f(a2)f(b2c) and f(a4b2c4)=f(bc2)f(a2) so f(bc2)=f(b2c). Let’s take such b,c that b=p2 and c=q2 then we get that: f(q2p4)=f(q4p2)f(p)=f(q)=mf(p)f(q)=m2=f(p2q2)=mm=0,1. Противоречие.

пред. Правка 2   0
2 года назад #

Ответ:нет

cS

cma,b

f(a)f(b)f(c2)=f(a2b2)f(c2)=f((abc)4)

f((abc)4)=f(a)f(ab2c2)

f((abc)4)=f(b)f(a2bc2)

f(a2b2)2f(c2)2=f(a2b2)f(a6b6c8)

f(a4b4c4)f(c2)=f(a6b6c8)

f(a8b8c12)=f(a6b6c8)

f(a3b3c3)f(c)=f(a3b3c3)f(abc3)

f(c)=f(abc3)

f(a4b4c2)=f((abc)6)

f(abc)f(ab)=f(abc)f((abc)2)

f(ab)=f(ab)f(c)f(c)=1