Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры


ABCD трапециясында (ADBC), B бұрышы A мен D бұрыштарының қосындысына тең. CD кесіндісінің D төбесінен әрі қарай созындысынан DK=BC болатындай кесінді жүргізілген. AK=BK екенін дәлелдеңіздер. ( Б. Обухов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отложим на луче DA отрезок DE=BC. Тогда четырёхугольник DCBE — параллелограмм, поэтому CBE=CDE. Используя условие, получаем ABE=ABCCBE=ABCCDE=BAE; значит, треугольник ABE — равнобедренный, AE=BE. Далее, поскольку ED=BC=KD, получаем KED=EKD=CDE/2. Так как AEB=CDE, прямая KE является биссектрисой угла AEB и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию AB равнобедренного треугольника AEB. Поэтому точка K равноудалена от концов отрезка AB, что и требовалось доказать.