Эйлер атындағы олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

$ABCD$ трапециясында $(AD \parallel BC)$, $B$ бұрышы $A$ мен $D$ бұрыштарының қосындысына тең. $CD$ кесіндісінің $D$ төбесінен әрі қарай созындысынан $DK=BC$ болатындай кесінді жүргізілген. $AK=BK$ екенін дәлелдеңіздер. ( Б. Обухов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отложим на луче $DA$ отрезок $DE = BC$. Тогда четырёхугольник $DCBE$ — параллелограмм, поэтому $\angle CBE = \angle CDE$. Используя условие, получаем $\angle ABE = \angle ABC -\angle CBE = \angle ABC -\angle CDE = \angle BAE$; значит, треугольник $ABE$ — равнобедренный, $AE = BE$. Далее, поскольку $ED = BC = KD$, получаем $\angle KED = \angle EKD = \angle CDE/2$. Так как $\angle AEB = \angle CDE$, прямая $KE $ является биссектрисой угла $AEB$ и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию $AB$ равнобедренного треугольника $AEB$. Поэтому точка $K$ равноудалена от концов отрезка $AB$, что и требовалось доказать.