Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, II тур регионального этапа
В трапеции ABCD, где AD∥BC, угол B равен сумме углов A и D. На продолжении отрезка CD за вершину D отложен отрезок DK=BC. Докажите, что AK=BK.
(
Б. Обухов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Отложим на луче DA отрезок DE=BC. Тогда четырёхугольник DCBE — параллелограмм, поэтому ∠CBE=∠CDE. Используя условие, получаем ∠ABE=∠ABC−∠CBE=∠ABC−∠CDE=∠BAE; значит, треугольник ABE — равнобедренный, AE=BE. Далее, поскольку ED=BC=KD, получаем ∠KED=∠EKD=∠CDE/2. Так как ∠AEB=∠CDE, прямая KE является биссектрисой угла AEB и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию AB равнобедренного треугольника AEB. Поэтому точка K равноудалена от концов отрезка AB, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.