Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, II тур регионального этапа


В трапеции ABCD, где ADBC, угол B равен сумме углов A и D. На продолжении отрезка CD за вершину D отложен отрезок DK=BC. Докажите, что AK=BK. ( Б. Обухов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отложим на луче DA отрезок DE=BC. Тогда четырёхугольник DCBE — параллелограмм, поэтому CBE=CDE. Используя условие, получаем ABE=ABCCBE=ABCCDE=BAE; значит, треугольник ABE — равнобедренный, AE=BE. Далее, поскольку ED=BC=KD, получаем KED=EKD=CDE/2. Так как AEB=CDE, прямая KE является биссектрисой угла AEB и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию AB равнобедренного треугольника AEB. Поэтому точка K равноудалена от концов отрезка AB, что и требовалось доказать.