Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1998 жыл

Определите наибольшее среди всех целых чисел $n$, с условием того, что $n$ делится на все натуральные числа, которые меньше $\sqrt[3]{n}$.

Комментарий/решение

$p_k-$ наибольшее простое число меньшее $\sqrt[3]{n}$

$l-$ наибольшее число меньшее $\sqrt[3]{n}$

Допустим что:

$p_k \geq 11$

По теореме Чебышева о распределении простых чисел:

$p_{k+1} < 2p_k < 4p_{k-2} < 8p_{k-3}$

$p_{k+1}^3<64p_kp_{k-1}p_{k-2}$

$x \geq$ НОК$(1, \dots , l) \geq 2^33^2p_{k-2}p_{k-1}p_k > 64p_{k-2}p_{k-1}p_k$

$x > p_{k+1}^3 \rightarrow \sqrt[3]{n} > p_{k+1} \rightarrow \varnothing$

$p_k=7$

$n < 11^3=1331$

$420 \mid n$

$n=420,840,1260$

Подставив все значения найдем ответ: $n=420$

достаточно рассмотреть НОК самых больших $4$ чисел, меньших $n^{1/3}$. Их НОК хотя бы функция, где есть $n^{4/3}$, а у $n$ - степень $3/3$. Таким образом, НОК этих чисел будет слишком большим для больших $n$, противоречие, несложным перебором для $n<15^3$ убеждаемся, что ответ - $420$