Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1998 год

Задача №1. Пусть

$F$ — множество всех упорядоченных наборов из

$n$ элементов

$({{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots {{A}_{n}})$ где каждая

${{A}_{i}}$ ,

$i=1,2,\ldots ,n$ является подмножеством множества

$\{1,2,\ldots ,1998\}$ . Пусть

$\left| A \right|$ обозначает число элементов множества

$A$ . Найдите значение суммы

$\sum\limits_{({{A}_{1}},\ldots ,{{A}_{n}})\in F}{|}{{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup \cdots \cup {{A}_{n}}| .$
комментарий/решение

Задача №2. Докажите, что для любых натуральных чисел

$a$ и

$b$ ,

$(36a+b)(a+36b)$ не может быть степенью 2.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — положительные действительные числа. Докажите, что

$\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)\ge 2\left( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right).$
комментарий/решение(3)

Задача №4. Пусть

$ABC$ — треугольник и

$D$ — основание высоты, опущенной из вершины

$A$ . Пусть

$E$ и

$F$ — точки на прямой, проходящей через

$D$ таким образом, что прямая

$AE$ перпендикулярна

$BE$ ,

$AF$ перпендикулярна

$CF$ ,

$E$ и

$F$ отличны от

$D$ . Пусть

$M$ и

$N$ — середины отрезков

$BC$ и

$EF$ соответственно. Докажите, что прямая

$AN$ перпендикулярна

$NM$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. Определите наибольшее среди всех целых чисел

$n$ , с условием того, что

$n$ делится на все натуральные числа, которые меньше

$\sqrt[3]{n}$ .
комментарий/решение(2)