Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1998 жыл
Пусть a, b, c — положительные действительные числа. Докажите, что
(1+ab)(1+bc)(1+ca)≥2(1+a+b+c3√abc).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a+b+c3≥3√abc⇒a+b+c3√abc≥3⇒ (1+ab)(1+bc)(1+ca)≥8
(1+ab)(1+bc)(1+ca)≥2√ab2√bc2√ca≥8
Жақшаларды ашып, Коши теңсіздігін қолданамыз:
(1+ab)⋅(1+bc)⋅(1+ca)=2+ab+ac+bc+bc+ca+cb=(aa+ab+ac)+(ba+bb+bc)+(ca+cb+cc)−1≥3(a+b+c)3√abc−1.
Енді 3(a+b+c)3√abc−1≥2+2(a+b+c)3√abc теңсіздігін дәлелдеу керек.
3(a+b+c)3√abc−2(a+b+c)3√abc≥3⇔a+b+c3√abc≥3.
Коши теңсіздігі бойынша a+b+c3≥3√abc.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.