Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1998 жыл


Пусть ABC — треугольник и D — основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть E и F — точки на прямой, проходящей через D таким образом, что прямая AE перпендикулярна BE, AF перпендикулярна CF, E и Fотличны от D. Пусть M и N — середины отрезков BC и EF соответственно. Докажите, что прямая AN перпендикулярна NM.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2 года 11 месяца назад #

Заметим что E и F лежат на окружностях построенных на AB и AC как на диаметрах. Отсюда ABC=AEF и ACB=AFE значит ABCAEF. Отсюда в силу того что AN и AM соответствующие медианы в подобных треугольниках получаем: ANE=AMB значит точки A,N,D,M лежат на одной окружности следовательно ANM=ADM=90

  0
1 года 1 месяца назад #

можно и так: заметим, что А - центр поворотной гомотетии, переводящей C в B, F - в E, причем CFA=90, а поскольку середину CB оно переводит в середину FE, получаем, что MNA=CFA=90