Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1998 жыл
Пусть ABC — треугольник и D — основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть E и F — точки на прямой, проходящей через D таким образом, что прямая AE перпендикулярна BE, AF перпендикулярна CF, E и Fотличны от D. Пусть M и N — середины отрезков BC и EF соответственно. Докажите, что прямая AN перпендикулярна NM.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что E и F лежат на окружностях построенных на AB и AC как на диаметрах. Отсюда ∠ABC=∠AEF и ∠ACB=∠AFE значит △ABC∼△AEF. Отсюда в силу того что AN и AM соответствующие медианы в подобных треугольниках получаем: ∠ANE=∠AMB значит точки A,N,D,M лежат на одной окружности следовательно ∠ANM=∠ADM=90
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.