Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1998 жыл
Комментарий/решение:
Решение: Предположим противное, то есть существует k , такое что (36а+b)(a+36b)=2k. Поскольку число 2k можно представить в виде произведения двух целых чисел 2l и 2s (где k=s+l), то получаем систему:
{36a+b=2la+36b=2s
Решая систему получим
a=36⋅2l−2s35⋅37,b=36⋅2s−2l35⋅37
Теперь докажем, что a и b не являются натуральными числами. Докажем это таким образом. Пусть для определенности считаем что,
s≥l . Тогда a=2l(36−2s−l)35⋅37. Из условий натуральности получим ограничение s−l≤5. Но в этом случаи числа 2l(36−2s−l) и 37⋅35 являются взаимно простыми числами. Для случаи s<l доказывается аналогично. Значит, наше предположение оказалось неверным.
Предположим обратное. Рассмотрим такую пару a,b с наименьшей суммой. Предположим a нечётное, тогда a+36b - нечётное число, но таковое не может быть делителем степени 2. Поэтому a=2a1, Аналогично b=2b1. (a+36b)(b+36a)=4(a1+36b1)(b1+36a1), т.е. (a1+36b1)(b1+36a1) также является степенью 2. При этом a1+b1<a+b - противоречие.
Допустим можно
Очевидно:
36a+b=2k
36b+a=2l
Б.О.О. a≥b
36a+b−(36b+a)=2l(2k−l−1)
a≠b→2l∣a−b→∅→a=b
(37a)2≠2n
Значит изначальное предположение не верно Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.