Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1998 жыл


Докажите, что для любых натуральных чисел a и b, (36a+b)(a+36b) не может быть степенью 2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года назад #

Решение: Предположим противное, то есть существует k , такое что (36а+b)(a+36b)=2k. Поскольку число 2k можно представить в виде произведения двух целых чисел 2l и 2s (где k=s+l), то получаем систему:

{36a+b=2la+36b=2s

Решая систему получим

a=362l2s3537,b=362s2l3537

Теперь докажем, что a и b не являются натуральными числами. Докажем это таким образом. Пусть для определенности считаем что,

sl . Тогда a=2l(362sl)3537. Из условий натуральности получим ограничение sl5. Но в этом случаи числа 2l(362sl) и 3735 являются взаимно простыми числами. Для случаи s<l доказывается аналогично. Значит, наше предположение оказалось неверным.

  8
2 года 3 месяца назад #

Предположим обратное. Рассмотрим такую пару a,b с наименьшей суммой. Предположим a нечётное, тогда a+36b - нечётное число, но таковое не может быть делителем степени 2. Поэтому a=2a1, Аналогично b=2b1. (a+36b)(b+36a)=4(a1+36b1)(b1+36a1), т.е. (a1+36b1)(b1+36a1) также является степенью 2. При этом a1+b1<a+b - противоречие.

  0
1 года 11 месяца назад #

Допустим можно

Очевидно:

36a+b=2k

36b+a=2l

Б.О.О. ab

36a+b(36b+a)=2l(2kl1)

ab2laba=b

(37a)22n

Значит изначальное предположение не верно Ч.Т.Д.