Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып


Тіктөртбұрыш үшбұрышқа іштей сызылған деп аталады, егер тіктөртбұрыштың барлық төбелері үшбұрыш қабырғаларында жатса. Берілген сүйір бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған барлық тіктөрбұрыштардың центрлерінің (диагональдардың қиылысу нүктесі) геометриялық жиынтығы бір нүктеде қиылысатын үш тұйықталмаған түзу екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $ABC$ — рассматриваемый треугольник. Обозначим через $C_1$ — середину стороны $AB$, $C_2$ — основание высоты из вершины $C$ и $C_3$ — середину отрезка $CC_2$. Аналогично определим точки $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$.

Из четырёх вершин прямоугольника какие-то две лежат на одной стороне. Пусть это прямоугольник $PQRS$, где точки $P$ и $S$ лежат на отрезке $AB$ (см. рис. выше). Так как $APQ$ и $AC_2C$ — прямоугольные подобные треугольники, то отрезок $AC_3$ делит отрезок $PQ$ пополам. Аналогично, $BC_3$ делит $RS$ пополам. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $PQ$ и $RS$. Так как расстояния от точек $R$ и $Q$ до $AB$ равны, то расстояния от точек $M$ и $N$ до $AB$ также равны, то есть $MN \parallel AB$. Следовательно, $C_1C_3$ делит $MN$ пополам. А это значит, центр $PQRS$ лежит на отрезке $C_1C_3$.
Нетрудно доказать, что для любой точки отрезка $C_1C_3$ существует вписанный прямоугольник, центр которого совпадает с данной точкой. Чтобы построить такой прямоугольник, нужно опустить перпендикуляр из этой точки на $AB$, основание этого перпендикуляра отобразить относительно этой же точки, и через эту точки провести отрезок, параллельный к $AB$, концы которого лежат на сторонах $AC$ и $BC$, и от этих концов опустить перпендикуляры на $AB$. Так как эта точка будет располагаться ближе к $AB$ чем точка $C_3$, то такой искомый прямоугольник существует.
Для завершения решения задачи осталось показать, что все отрезки $C_1C_3$, $A_1A_3$ и $B_1B_3$ пересекаются в одной точке. Это легко следует из теоремы Чевы, так как: \[\dfrac{{{A_1}{C_3}}}{{{C_3}{B_1}}} \cdot \dfrac{{{B_1}{A_3}}}{{{A_3}{C_1}}} \cdot \dfrac{{{C_1}{B_3}}}{{{B_3}{A_1}}} = \dfrac{{B{C_2}}}{{{C_2}A}} \cdot \dfrac{{A{B_2}}}{{{B_2}C}} \cdot \dfrac{{C{A_2}}}{{{A_2}B}} = 1\]