Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Два способа
1) Возьмем на продолжений луча CD точку I что CD=DI тогда из условия следует что ∠IBC=90∘ и ∠BDI=2∠BCD опишем около треугольника IBC окружность ω радиус которого равен CD , тогда пусть AC пересекает ω в точке H тогда ∠IDH=2∠ACD значит из условия ∠BDA=3∠ACB следует что ∠ADH=∠ACB пусть J∈AB∩ω тогда ∠AJH=∠BCA=∠ADH и так как CDJ из условия следует что правильный, то HDJ так же должен быть правильным, откуда ∠DHJ=30∘+∠CHD=30∘+∠ACD=60∘ или ∠ACD=30∘
2) Положим что угол ∠BCD=∠DBC=x, ∠ACB=a, если ∠ACD=∠a−∠x=∠y , тогда из треугольников ΔADB;ΔADC .
Получим соотношение CDAD=BDAD или в угловой форме sinysin(a+y)=sin(π6−x)sin(5π6−2a−y) или что тоже самое sin(a+y)⋅sin(y−a+π6)=sin(2a+y+π6)⋅siny
преобразовывая получаем cos(2a+π6)−cos(2a−π6)=cos(2a+2y+π6)−cos(2y+π6)cosa=sin(a+2y+π6)∠y=30∘
Ответ ∠ACD=30∘
4-ая строчка ("или что тоже самое...") эквивалентна соотношению (1),поэтому тут есть дыра...
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.