Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 10 сынып


ABC үшбұрышында ABC=30, AB>AC және BAC — доғал. Осы үшбұрыш ішінен BD=CD және BDA=3BCA болатындай етіп D нүктесі алынған. ACD табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
5 года 11 месяца назад #

Два способа

1) Возьмем на продолжений луча CD точку I что CD=DI тогда из условия следует что IBC=90 и BDI=2BCD опишем около треугольника IBC окружность ω радиус которого равен CD , тогда пусть AC пересекает ω в точке H тогда IDH=2ACD значит из условия BDA=3ACB следует что ADH=ACB пусть JABω тогда AJH=BCA=ADH и так как CDJ из условия следует что правильный, то HDJ так же должен быть правильным, откуда DHJ=30+CHD=30+ACD=60 или ACD=30

2) Положим что угол BCD=DBC=x, ACB=a, если ACD=ax=y , тогда из треугольников ΔADB;ΔADC .

Получим соотношение CDAD=BDAD или в угловой форме sinysin(a+y)=sin(π6x)sin(5π62ay) или что тоже самое sin(a+y)sin(ya+π6)=sin(2a+y+π6)siny

преобразовывая получаем cos(2a+π6)cos(2aπ6)=cos(2a+2y+π6)cos(2y+π6)cosa=sin(a+2y+π6)y=30

Ответ ACD=30

  1
5 года 11 месяца назад #

4-ая строчка ("или что тоже самое...") эквивалентна соотношению (1),поэтому тут есть дыра...