Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

Решите уравнение $a^5=a^3bc+b^2c$ в целых числах $a,b,c$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $(a,b,c)=(0,0,n)$; $(0,n,0)$; $(\pm 2,\mp 4,\mp 2)$; $(\pm 4,\mp 32,\mp 1)$, где $n$ — любое целое число.
Решение. Пусть среди чисел $a$, $b$, $c$ есть 0. Если $b=0$, то $a=0$, а $c$ — любое целое число. Если $c=0$ то $a=0$, а $b$ — любое целое число. Если $a=0$, то ${{b}^{2}}c=0$, то есть одно из чисел $b$ и $c$ ноль, а другое — любое целое число. Пусть теперь среди данных чисел нет нуля. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $b$ : \[c{{b}^{2}}+{{a}^{3}}cb-{{a}^{5}}=0.\] Дискриминант этого уравнения равен $D={{a}^{6}}{{c}^{2}}+4{{a}^{5}}c={{a}^{4}}({{a}^{2}}{{c}^{2}}+4ac)$. Для того, чтобы число $b$ было целым, необходимо, чтобы дискриминант был полным квадратом. Число ${{a}^{4}}$ — полный квадрат. Поэтому для ${k=ac}$ должно существовать целое $n$, что ${{k}^{2}}+4k={{n}^{2}}$ или же ${{(k+2)}^{2}}-{{n}^{2}}=4$. Получается, что два квадрата различаются на 4. Такое возможно только для чисел 0 и $\pm 2$. Следовательно, $(k,n)=(0,0)$ или $(k,n)=(-4,0)$. Так как первый случай мы уже исключили, то $k=-4$ (в этом случае $D=0$), откуда $b=\dfrac{-{{a}^{3}}c}{2c}=-\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$. Из того, что $k=ac=-4$ следует, что всевозможные значения для $a$ это $\pm 1,\pm 2,\pm 4$, при этом $b$ будет целым только при $a=\pm 2$ и $a=\pm 4$. Выбрав одно конкретное значение $a$, найдем $c$, после чего сразу находится $b$. Теперь нетрудно выписать все решения целых числах $(a,b,c)$ : $(0,0,n)$; $(0,n,0)$; $(\pm 2,\mp 4,\mp 2)$; $(\pm 4,\mp 32,\mp 1)$, где $n$ — любое целое число.

заметим что если $a=0$ то $b$ тоже чтобы равнялось а $c=n$ и аналогично если $c=0$ то $b=n$ . дальше заметим что правое неравенство можно записать $bc(b+a^3)$ что означает $a^5$ делится на $bc$ заметим что $a$ всегда четное и $b$ тоже если у нас $c$ нечет то $c=1$ тогда $a^5=a^3b+b^2 $ , $a^5=b(a^3+b)$ тогда заметим единственые ответы

$a,b,c = (\pm4 ,\mp32,\mp1)$ доказательство пусть $b=an$ тогда $a^5=a^4n+a^2n^2$ сокращаем $a^3=a^2n+n^2$ заметим что $a$ делится на $n$ тогда пусть $n=ax$ тогда $a^3=a^3x+a^2x^2$ сокращаем $a=ax+x^2$ откуда $a$ отрицательный или $x$ заметим что $x$ четный тогда $a(1-x)=x^2 $ тогда т.к. $x$ четный у нас единственный ответ $x=2,-2$ тогда у нас $a=-4$при $x=2$ и наоборот должно тогда $b=\pm 32$ осталось разобрать где $c$ четный

тогда пусть $b=an$ ,$c=ax$ тогда это будет равно $a^5=a^5xn+a^3xn^2$

$a^2=a^2xn+xn^2$ заметим что $x,n$ отрицательные или оба положительные пусть $n=ak$ тогда это будет равно $a^2=a^3kx+a^2kx$, $\rightarrow$ $1=axk+kx$ ,$1=kx(a+1)$ $\rightarrow$ ,$a=-2,0$ где $0$ мы разобрали значит осталось $a=-2$ тогда $-32=-8bc+b^2c$ $\rightarrow$ $b=4,c=2$но незабудем что может ыть и наоборот откуда ответы $(a,b,c)=(0,0,n),(0,n,0),(\pm4,\mp32,\mp1),(\pm2\mp4\mp2)$