Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс


Решите уравнение a5=a3bc+b2c в целых числах a,b,c.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. (a,b,c)=(0,0,n); (0,n,0); (±2,4,2); (±4,32,1), где n — любое целое число.
Решение. Пусть среди чисел a, b, c есть 0. Если b=0, то a=0, а c — любое целое число. Если c=0 то a=0, а b — любое целое число. Если a=0, то b2c=0, то есть одно из чисел b и c ноль, а другое — любое целое число. Пусть теперь среди данных чисел нет нуля. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно b : cb2+a3cba5=0. Дискриминант этого уравнения равен D=a6c2+4a5c=a4(a2c2+4ac). Для того, чтобы число b было целым, необходимо, чтобы дискриминант был полным квадратом. Число a4 — полный квадрат. Поэтому для k=ac должно существовать целое n, что k2+4k=n2 или же (k+2)2n2=4. Получается, что два квадрата различаются на 4. Такое возможно только для чисел 0 и ±2. Следовательно, (k,n)=(0,0) или (k,n)=(4,0). Так как первый случай мы уже исключили, то k=4 (в этом случае D=0), откуда b=a3c2c=a32. Из того, что k=ac=4 следует, что всевозможные значения для a это ±1,±2,±4, при этом b будет целым только при a=±2 и a=±4. Выбрав одно конкретное значение a, найдем c, после чего сразу находится b. Теперь нетрудно выписать все решения целых числах (a,b,c) : (0,0,n); (0,n,0); (±2,4,2); (±4,32,1), где n — любое целое число.

пред. Правка 2   3
2 года 3 месяца назад #

пред. Правка 2   4
2 года 3 месяца назад #

заметим что если a=0 то b тоже чтобы равнялось а c=n и аналогично если c=0 то b=n . дальше заметим что правое неравенство можно записать bc(b+a3) что означает a5 делится на bc заметим что a всегда четное и b тоже если у нас c нечет то c=1 тогда a5=a3b+b2 , a5=b(a3+b) тогда заметим единственые ответы

a,b,c=(±4,32,1) доказательство пусть b=an тогда a5=a4n+a2n2 сокращаем a3=a2n+n2 заметим что a делится на n тогда пусть n=ax тогда a3=a3x+a2x2 сокращаем a=ax+x2 откуда a отрицательный или x заметим что x четный тогда a(1x)=x2 тогда т.к. x четный у нас единственный ответ x=2,2 тогда у нас a=4при x=2 и наоборот должно тогда b=±32 осталось разобрать где c четный

тогда пусть b=an ,c=ax тогда это будет равно a5=a5xn+a3xn2

a2=a2xn+xn2 заметим что x,n отрицательные или оба положительные пусть n=ak тогда это будет равно a2=a3kx+a2kx, 1=axk+kx ,1=kx(a+1) ,a=2,0 где 0 мы разобрали значит осталось a=2 тогда 32=8bc+b2c b=4,c=2но незабудем что может ыть и наоборот откуда ответы (a,b,c)=(0,0,n),(0,n,0),(±4,32,1),(±242)