Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып


Қабырғаларының ұзындықтары натурал сан және периметрі 40 болатын, әр түрлі доғалбұрышты үшбұрыштардың санын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 18.
Решение. Заметим, что треугольник со сторонами abc, тупоуголен, если a2>b2+c2. Это следует из теоремы косинусов. Найдем возможные значения a. По неравенству треугольника имеем a<b+c=40a, откуда a<20 или a19.
Нетрудно доказать неравенство b2+c2(b+c)22. Поэтому a2>b2+c2(b+c)22=(40a)22a2>40aa>402+1>16. Следовательно, 17a19. Учитывая, что a>bc, для каждого a=17,18,19 найдем количество решений.
Если a=17, то b+c=23. Существует 5 решений в натуральных числах уравнения b+c=23 с условиями 17>bc. Это пары (b,c)=(16,7), (15,8), (14,9), (13,10), (12,11). Но первые две пары не удовлетворяют условию a2>b2+c2.
Если a=18, то b+c=22. Существует 7 решении в натуральных числах уравнения b+c=22 с условиями 18>bc. Это пары (17,5), (16,6), , (11,11). Все они удовлетворяют условию a2>b2+c2.
Если a=19, то b+c=21. Существует 8 решений в натуральных числах уравнения b+c=21 с условиями 19>bc. Это пары (18,3), (17,4), , (11,10). Также все они удовлетворяют условию a2>b2+c2.
Как видим, всего треугольников, удовлетворяющие условию задач, 3+7+8=18.