Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 18.
Решение. Заметим, что треугольник со сторонами a≥b≥c, тупоуголен, если a2>b2+c2. Это следует из теоремы косинусов. Найдем возможные значения a. По неравенству треугольника имеем a<b+c=40−a, откуда a<20 или a≤19.
Нетрудно доказать неравенство b2+c2≥(b+c)22. Поэтому a2>b2+c2≥(b+c)22=(40−a)22⇒a√2>40−a⇒a>40√2+1>16.
Следовательно, 17≤a≤19. Учитывая, что a>b≥c, для каждого a=17,18,19 найдем количество решений.
Если a=17, то b+c=23. Существует 5 решений в натуральных числах уравнения b+c=23 с условиями 17>b≥c. Это пары
(b,c)=(16,7), (15,8), (14,9), (13,10), (12,11).
Но первые две пары не удовлетворяют условию a2>b2+c2.
Если a=18, то b+c=22. Существует 7 решении в натуральных числах уравнения b+c=22 с условиями 18>b≥c. Это пары (17,5), (16,6), …, (11,11). Все они удовлетворяют условию a2>b2+c2.
Если a=19, то b+c=21. Существует 8 решений в натуральных числах уравнения b+c=21 с условиями 19>b≥c. Это пары (18,3), (17,4), …, (11,10). Также все они удовлетворяют условию a2>b2+c2.
Как видим, всего треугольников, удовлетворяющие условию задач, 3+7+8=18.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.