Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 10 класс

Найдите наименьшее значение функции $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+x}$ на интервале $\left( 0;+\infty \right)$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 4.
Решение 1. Найдем производную $f(x)$: $f'(x)=\dfrac{(x^2-1)^3}{(x^3+x)^2}$. Тогда легко заметить, что $x \in ( 0;1)$ — интервал убывания $f(x)$, так как для этого интервала $f'(x) < 0$, а $x \in (1,+\infty)$ — интервал возрастания. Следовательно, $x=1$ — точка минимума. Значение функции в точке $x=1$ равно $f(1)=4$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ: 4.
Решение 2. Покажем, что $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+x} \geq 4$. Это неравенство эквивалентно следующим неравенствам: $${x^4} + 6{x^2} + 1 \geq 4{x^3} + 4x \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^4} \geq 0.$$ Равенство выполняется в точке $x=1$.