Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 8 класс


Пусть $M,~N,~K$ — середины сторон $AB,~BC,~CA$ треугольника $ABC$, соответственно. На отрезке $MN$ выбрана точка $P$, а на отрезке $NK$ — точка $Q$. Возможно ли одновременное выполнение соотношений $AP+AQ=BC$ и $BQ+CP=AB+AC$?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Нет, невозможно.
Решение. Каждый из отрезков $NK, KM, MN$ равен половине сторон $AB,BC,CA$ соответственно.

$$AP+AQ+BQ+CP=AB+BC+AC \quad(*). $$ Из неравенства треугольника имеем $ AQ < AK+KQ$, $BQ < BN+NQ$. Сложив последние последние два неравенства, получим $$AQ+BQ < AK+KQ+BN+NQ=AK+BN+KN=\frac{1}{2}(AB+AC+BC).$$ Аналогично, получим $$AP+CP < \frac{1}{2}(AB+BC+AC).$$Из последних неравенств следует $$ AQ+BQ+AP+CP < 2 \cdot \frac{1}{2}(AB+BC+AC)=AB+BC+AC, $$ что противоречит $(*)$.