Решения: Республиканская олимпиада, Районный этап

Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 8 класс

Пусть

$M,~N,~K$ — середины сторон

$AB,~BC,~CA$ треугольника

$ABC$ , соответственно. На отрезке

$MN$ выбрана точка

$P$ , а на отрезке

$NK$ — точка

$Q$ . Возможно ли одновременное выполнение соотношений

$AP+AQ=BC$ и

$BQ+CP=AB+AC$ ?

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: Нет, невозможно.
Решение. Каждый из отрезков $NK, KM, MN$ равен половине сторон $AB,BC,CA$ соответственно.

$AP+AQ+BQ+CP=AB+BC+AC \quad(*).$ Из неравенства треугольника имеем

$AQ < AK+KQ$ ,

$BQ < BN+NQ$ . Сложив последние последние два неравенства, получим

$AQ+BQ < AK+KQ+BN+NQ=AK+BN+KN=\frac{1}{2}(AB+AC+BC).$ Аналогично, получим

$AP+CP < \frac{1}{2}(AB+BC+AC).$ Из последних неравенств следует

$AQ+BQ+AP+CP < 2 \cdot \frac{1}{2}(AB+BC+AC)=AB+BC+AC,$ что противоречит

$(*)$ .