1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига


Для любых положительных действительных чисел a, b, c докажите неравенство ca+2b+ab+2c+bc+2a1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
8 года 3 месяца назад #

{a+2b=xb+2c=yc+2a=z.

a=x2y+4z9,b=y2z+4x9,c=z2x+4y9

ca+2b+ab+2c+bc+2a=

=x2y+4z9x+y2z+4x9y+z2x+4y9z=

19(zx+xy+yz)23+49(xz+zy+yx)

133zxxyyz23+433xzzyyx=1323+43=1

  5
8 года 1 месяца назад #

Используем формулу Коши в лоб, тогда левая часть больше и равно (a+c+b)2. А это у нас итак больше и равно 3(ab+ac+bc). Это просто A.M>G.M

  4
1 года 3 месяца назад #

(ca+2b+bc+2a+ab+2c)((a+2b)c+(c+2a)b+(b+2c)a) (a+b+c)2

(a+2b)c+(c+2a)b+(b+2c)a(a+b+c)2 1

  0
1 года 1 месяца назад #

В последней строчке ошибка. Там должно быть

(a+b+c)23(ab+bc+ac)1

  0
10 месяца 20 дней назад #

(!)c2(a+2b)c+a2(b+2c)a+b2(c+2a)b1

Используем лемму Титу, получается остаётся доказать:

(!)(a+b+c)23ab+3ac+3bc

(!)a2+b2+c2ab+bc+ca

Что верно по AM-GM, если каждую часть домножить на 2

  0
10 месяца 18 дней назад #

Сверху написано тоже самое. (Лемма титу<=>дробная кбш–частный случай кбш)

  1
1 месяца 21 дней назад #

(ca+2b+ab+2c+bc+2a)(c(a+2b)+a(b+2c)+b(c+2a)(a+b+c)23ab+3bc+3ca=c(a+2b)+a(b+2c)+b(c+2a