1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига
Для любых положительных действительных чисел a, b, c докажите неравенство ca+2b+ab+2c+bc+2a≥1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
{a+2b=xb+2c=yc+2a=z.⇒
⇒a=x−2y+4z9,b=y−2z+4x9,c=z−2x+4y9⇒
⇒ca+2b+ab+2c+bc+2a=
=x−2y+4z9x+y−2z+4x9y+z−2x+4y9z=
19⋅(zx+xy+yz)−23+49⋅(xz+zy+yx)≥
≥13⋅3√zx⋅xy⋅yz−23+43⋅3√xz⋅zy⋅yx=13−23+43=1
(ca+2b+bc+2a+ab+2c)((a+2b)c+(c+2a)b+(b+2c)a) ≥(a+b+c)2
(a+2b)c+(c+2a)b+(b+2c)a(a+b+c)2 ≥1
В последней строчке ошибка. Там должно быть
(a+b+c)23(ab+bc+ac)≥1
(!)c2(a+2b)c+a2(b+2c)a+b2(c+2a)b≥1
Используем лемму Титу, получается остаётся доказать:
(!)(a+b+c)2≥3ab+3ac+3bc
(!)a2+b2+c2≥ab+bc+ca
Что верно по AM-GM, если каждую часть домножить на 2
Сверху написано тоже самое. (Лемма титу<=>дробная кбш–частный случай кбш)
(ca+2b+ab+2c+bc+2a)(c(a+2b)+a(b+2c)+b(c+2a)≥(a+b+c)2≥3ab+3bc+3ca=c(a+2b)+a(b+2c)+b(c+2a
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.