2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл
Комментарий/решение:
Проведем через точки B,E прямые, параллельные к CF,AD соответственно, пусть они пересекаются в точке I, проведем через точки A,F аналогично прямые параллельные DE,BC, пусть они пересекают IE,IB в точках G,H. Откуда получаем что AB+DE=AB+AG=BH так же как и EF+BC=EF+FH=EG учитывая что AB+AG≥BG аналогично и со вторым, откуда требуется найти такое расположение что BH≥BG, EG≥EH которая возможно только в случае G,H=I , откуда A∈BI, F∈EI , аналогично и с остальными двумя. Значит такое возможно в случае AB||DE, CD||AF, FE||BC откуда треугольники HAF,HBE подобны и AH=DE,HF=BC или ABAH=EFHF=AFCD подставляя получаем нужное.
Лемма: Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Обозначим
a,b,c,d это стороны и e,f диагонали, тогда a2+c2+2bd≥e2+f2.
Доказательство: Обозначим M,N,P средние точки BC,AD,BD, из
неравенство треугольника MN≤MP+NP или 2MN≤b+d. Мы будем
помните теорему Эйлера для четырехугольника и середины противоположного
стороны или диагонали: b2+d2+e2+f2=a2+c2+4MN2≤a2+c2+(b+d)2. Равенство имеет место, когда BC∥AD и наша лемма
доказал.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.