2-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2006 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все натуральные числа

$n$ такие, что

$n=\varphi(n)+402$ , где

$\varphi(n)$ — функция Эйлера (известно, что если

$p_1, \dots, p_k$ — все различные простые делители натурального числа

$n$ , то

$\varphi(n)=n\left(1-{1\over p_1}\right)\dots\left(1-{1\over p_k}\right)$ ; кроме того,

$\varphi(1)=1$ ).
комментарий/решение(3)

Задача №2. На сторонах

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ взяты точки

$K$ и

$L$ соответственно, так, что

$BK=CL$ . Пусть

$P$ — точка пересечения отрезков

$BL$ и

$CK$ , а

$M$ — точка внутри отрезка

$AC$ такая, что прямая

$MP$ параллельна биссектрисе угла

$\angle BAC$ . Докажите, что

$CM=AB$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Прямоугольную таблицу

$m\times n$ (

$4\leq m\leq n$ ) назовем хорошей , если в каждую ее клетку можно вписать число 0 или 1 так, чтобы одновременно выполнялись условия:
1) не все вписанные числа равны 0 и не все равны 1;
2) число единиц во всех квадратах

$3\times 3$ одно и то же;
3) число единиц во всех квадратах

$4\times 4$ одно и то же.
Найдите все пары натуральных чисел

$(m, n)$ (

$4\leq m\leq n$ ), для которых существует хорошая таблица

$m\times n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Имеется куча из 100 камней. Разбиение этой кучи на

$k$ новых куч назовем особым , если, во-первых, количества камней в разных кучах разные, и, во-вторых, при любом дальнейшем разбиении любой из этих куч на две новые среди новых

$k+1$ куч полученного разбиения найдутся две кучи с одинаковым числом камней (любая куча состоит, по крайней мере, из одного камня).
а) Найдите наибольшее число

$k$ , при котором для данной кучи из 100 камней существует особое разбиение на

$k$ куч.
б) Найдите наименьшее число

$k$ , при котором существует особое разбиение данной кучи на

$k$ куч.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что если сумма действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ равна нулю, то для них выполняется неравенство

$(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+12\geq 6(abc+abd+acd+bcd).$
комментарий/решение(2)

Задача №6. Про выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ известно, что

$AD=BC+EF$ ,

$BE=AF+CD$ ,

$CF=DE+AB$ . Докажите, что

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{CD}}{{AF}} = \frac{{EF}}{{BC}}.$
комментарий/решение(2)

результаты