2-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2006 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $n=\varphi(n)+402$, где $\varphi(n)$ — функция Эйлера (известно, что если $p_1, \dots, p_k$ — все различные простые делители натурального числа $n$, то $\varphi(n)=n\left(1-{1\over p_1}\right)\dots\left(1-{1\over p_k}\right)$; кроме того, $\varphi(1)=1$).
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, так, что $BK=CL$. Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $BL$ и $CK$, а $M$ — точка внутри отрезка $AC$ такая, что прямая $MP$ параллельна биссектрисе угла $\angle BAC$. Докажите, что $CM=AB$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Прямоугольную таблицу $m\times n$ ($4\leq m\leq n$) назовем хорошей , если в каждую ее клетку можно вписать число 0 или 1 так, чтобы одновременно выполнялись условия:
1) не все вписанные числа равны 0 и не все равны 1;
2) число единиц во всех квадратах $3\times 3$ одно и то же;
3) число единиц во всех квадратах $4\times 4$ одно и то же.
Найдите все пары натуральных чисел $(m, n)$ ($4\leq m\leq n$), для которых существует хорошая таблица $m\times n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Имеется куча из 100 камней. Разбиение этой кучи на $k$ новых куч назовем особым , если, во-первых, количества камней в разных кучах разные, и, во-вторых, при любом дальнейшем разбиении любой из этих куч на две новые среди новых $k+1$ куч полученного разбиения найдутся две кучи с одинаковым числом камней (любая куча состоит, по крайней мере, из одного камня).
а) Найдите наибольшее число $k$, при котором для данной кучи из 100 камней существует особое разбиение на $k$ куч.
б) Найдите наименьшее число $k$, при котором существует особое разбиение данной кучи на $k$ куч.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Докажите, что если сумма действительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ равна нулю, то для них выполняется неравенство $$(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+12\geq 6(abc+abd+acd+bcd).$$
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Про выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ известно, что $AD=BC+EF$, $BE=AF+CD$, $CF=DE+AB$. Докажите, что $$ \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{CD}}{{AF}} = \frac{{EF}}{{BC}}. $$
комментарий/решение(2)

---