2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$n=\phi (n)+402$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$n$ натурал санын табыңдар, мұндағы

$\varphi$ — Эйлер функциясы (егер

${{p}_{1}},...,{{p}_{k}}$ — натурал

$n$ санының барлық әртүрлі жай бөлгіштері болса, онда

$\varphi (n)=n\cdot \left( 1-\dfrac{1}{{{p}_{1}}} \right)\cdot ...\cdot \left( 1-\dfrac{1}{{{p}_{k}}} \right)$ екені белгілі; оның үстіне

$\varphi (1)=1$ ).
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан

$BK=CL$ болатындай сәйкес

$K$ және

$L$ нүктелері алынған.

$BL$ мен

$CK$ кесінділері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$MP$ түзуі

$\angle BAC$ бұрышының биссектрисасына параллель болатындай

$AC$ кесіндісінің ішкі

$M$ нүктесі алынған. Онда

$CM=AB$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Егер өлшемі

$m\times n$ (

$4\le m\le n$ ) кестенің әрбір бірлік шаршысына келесі шарттар орындалатындай етіп 0 немесе 1 сандарын жазуға мүмкін болса, оны жақсы деп атаймыз:
1) жазылған сандардың бәрі 0-ге тең емес және бәрі 1-ге тең емес;
2) барлық өлшемі

$3\times 3$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең;
3) барлық өлшемі

$4\times 4$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең.
Өлшемі

$m\times n$ жақсы кесте табылатын барлық

$(m;n)$ (

$4\le m\le n$ ) натурал сандар парын анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 100 тастан тұратын үйме берілген. Осы үймені жаңа

$k$ үймеге бөлуді ерекше дейміз, егер, біріншіден, әртүрлі үймедегі тастардың саны әртүрлі болса, және, екіншіден, ары қарай осы үймелердің кез келгенін екі үймеге бөлсек, пайда болған бөлудің жаңа

$k+1$ үймесінің ішінен тас саны бірдей екі үйме табылса (әр үймеде кемінде бір тас бар).
а) Берілген 100 тастан тұратын үймені

$k$ үймеге ерекше бөлуге болатындай

$k$ санының ең үлкенін табыңдар.
б) Берілген үймені

$k$ үймеге ерекше бөлуге болатындай

$k$ санының ең кішісін табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Егер

$a,b,c,d$ нақты сандарының қосындысы нөлге тең болса, олар үшін теңсіздікті дәлелдеңіз:

${{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}^{2}}+12\ge 6(abc+abd+acd+bcd)$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Дөңес

$ABCDEF$ алтыбұрышында

$AD=BC+EF$ ,

$BE=AF+CD$ ,

$CF=DE+AB$ екені белгілі. Онда

$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{CD}{AF}=\dfrac{EF}{BC}$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)

результаты