2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл

Егер өлшемі $m\times n$ ($4\le m\le n$) кестенің әрбір бірлік шаршысына келесі шарттар орындалатындай етіп 0 немесе 1 сандарын жазуға мүмкін болса, оны жақсы деп атаймыз:
1) жазылған сандардың бәрі 0-ге тең емес және бәрі 1-ге тең емес;
2) барлық өлшемі $3\times 3$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең;
3) барлық өлшемі $4\times 4$ болатын шаршылардағы 1-лердің саны өзара тең.
Өлшемі $m\times n$ жақсы кесте табылатын барлық $(m;n)$ ($4\le m\le n$) натурал сандар парын анықтаңдар.

Комментарий/решение

Пример для $m=4$:

1111111...

000000...

000000...

1111111...

Пример для $m=5$:

1111111...

1111111...

000000...

1111111...

1111111...

Примера для $6$ x $6$ нет, поэтому подходят только $m=4$ и $m=5$

От противного, посчитаем сумму чисел, когда будем проходиться по каждому квадратику $3x3$ и $4x4$. Несложно убедиться, что эти суммы совпадают, но они делятся на $9$ и $16$, значит сумма делится на $9*16$, но сумма максимум $9*16$, но тогда все числа должны быть равны $1$, противоречие