Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл


ABC үшбұрышының AB және AC қабырғаларынан BK=CL болатындай сәйкес K және L нүктелері алынған. BL мен CK кесінділері P нүктесінде қиылысады. MP түзуі BAC бұрышының биссектрисасына параллель болатындай AC кесіндісінің ішкі M нүктесі алынған. Онда CM=AB екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 3 месяца назад #

Менелая :)

пред. Правка 2   3
4 года 3 месяца назад #

1) Пусть AD биссектриса и EMPBC и ME || AD. По подобия треугольников MEC,ACD значит CMAC=CECD и так как BDCD=ABAC откуда CMAB=CEBD (1). Если HCKBM по теореме Менелая и для треугольника ABM и секущей CK и по теореме Чевы для треугольника BMC учитывая что BK=CL получаем MLAK=BECD (2) .

Первый способ: Построим параллелограмм ABCA , пусть AM биссектриса BAC и MAB и AM биссектриса BAC тогда BD=CE пусть CL||BL где LAB и пусть PAMCK и PCLAM и KBPAC тогда по (1),(2) получаем что CK=BL.

Значит если FAMBL точка совпадает с F=P то треугольники BKC=BKC равны по построению, откуда CL=BL=CK=BK или BK=CL которая выполняется для случая BD=CE или CM=AB.

Второй способ: из (1),(2) то есть CMAB=CEBD и MLAK=BECD так как M внутри отрезка AC

1) Пусть ML>AK тогда BE>CD так как CM=CL+ML, AB=BK+AK то есть CM>AB и CD=CE+DE,BE=BD+DE значит BD>CE противоречие

2) ML<AK значит BE<CD значит теми же способом 1>CMAB=CEBD>1

откуда CM=AB

  1
8 месяца 23 дней назад #

Пусть A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), и BK=CL=d. Несложно посчитать координаты точки P(dc+bd,cdc+bd,bdc+bd), M(m,0,1m).

Тогда векторы MP и AI параллельны, то есть их координаты пропорциональны. Учитывая то, что AI(bc,b,c), находим m=c/b.

Тогда CM2=b2xz=b2c/bc/b=c2, чтд