2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл
Комментарий/решение:
1) Пусть AD биссектриса и E∈MP∩BC и ME || AD. По подобия треугольников MEC,ACD значит CMAC=CECD и так как BDCD=ABAC откуда CMAB=CEBD (1). Если H∈CK∩BM по теореме Менелая и для треугольника ABM и секущей CK и по теореме Чевы для треугольника BMC учитывая что BK=CL получаем MLAK=BECD (2) .
Первый способ: Построим параллелограмм ABCA′ , пусть AM′ биссектриса BAC и M′∈A′B и A′M биссектриса BA′C тогда BD=CE пусть CL′||BL где L′∈A′B и пусть P∩A′M∩CK и P′∈CL′∩AM′ и K′∈BP′∩A′C тогда по (1),(2) получаем что CK′=BL′.
Значит если F∈A′M∩BL точка совпадает с F=P то треугольники BKC=BK′C равны по построению, откуда CL=BL′=CK′=BK или BK=CL которая выполняется для случая BD=CE или CM=AB.
Второй способ: из (1),(2) то есть CMAB=CEBD и MLAK=BECD так как M внутри отрезка AC
1) Пусть ML>AK тогда BE>CD так как CM=CL+ML, AB=BK+AK то есть CM>AB и CD=CE+DE,BE=BD+DE значит BD>CE противоречие
2) ML<AK значит BE<CD значит теми же способом 1>CMAB=CEBD>1
откуда CM=AB
Пусть A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), и BK=CL=d. Несложно посчитать координаты точки P(dc+b−d,c−dc+b−d,b−dc+b−d), M(m,0,1−m).
Тогда векторы MP и AI параллельны, то есть их координаты пропорциональны. Учитывая то, что AI(−b−c,b,c), находим m=c/b.
Тогда CM2=−b2∗xz=−b2∗c/b∗−c/b=c2, чтд
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.