Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

4-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2008 жыл


Егер оң нақты a, b және c сандары abc=1 теңдігін қанағаттандыратын болса, 1(a+b)b+1(b+c)c+1(c+a)a32 теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
9 года 1 месяца назад #

Надо взять a=xy,b=yz,c=zx

  -1
9 года 1 месяца назад #

Да, эта задача намного легче, чем 3-я задача того же года. Хотя второй тур должен считаться труднее чем первый. Но все же было бы классно, если решения были полными.

  1
9 года 1 месяца назад #

Помню, что идея в официальном решении было такое: для любых a,b,c верно A=1(a+b)b+1(b+c)c+1(c+a)a1(a+b)c+1(b+c)a+1(c+a)b=B AB0a3ba2bcab2cabc2+ac3+b3cabc(a+b)(a+c)(b+c)0 a3b+ac3+b3ca2bc+ab2c+abc2.

А это верно, так как (c+a+b)(a2c+b2a+c2b)(a+b+c)2.

А дальше, 2AA+B=(ac(a+b)+ab(b+c)+bc(c+a))+(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))=a(c+b)(a+b)+b(a+c)(b+c)+c(a+b)(c+a)33abc=3

пред. Правка 2   1
4 года назад #

a=xy,b=yz,c=zx

z2xz+y2z4xz3+y2z2

by cauchy schwarz inequalities

(!)(x2+y2+z2)2x3y+x2y232

by some actions with AMGM we get the required equation

пред. Правка 4   2
3 года 3 месяца назад #

я оксимирон

  0
3 года 3 месяца назад #

я Lawanda

  0
3 года 3 месяца назад #

венти