4-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2008 жыл
Егер оң нақты a, b және c сандары abc=1 теңдігін қанағаттандыратын болса, 1(a+b)b+1(b+c)c+1(c+a)a≥32
теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Помню, что идея в официальном решении было такое: для любых a,b,c верно A=1(a+b)b+1(b+c)c+1(c+a)a≥1(a+b)c+1(b+c)a+1(c+a)b=B ⇔ A−B≥0⇔a3b−a2bc−ab2c−abc2+ac3+b3cabc(a+b)(a+c)(b+c)≥0 ⇔a3b+ac3+b3c≥a2bc+ab2c+abc2.
А это верно, так как (c+a+b)(a2c+b2a+c2b)≥(a+b+c)2.
А дальше, 2A≥A+B=(ac(a+b)+ab(b+c)+bc(c+a))+(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))=a(c+b)(a+b)+b(a+c)(b+c)+c(a+b)(c+a)≥33√abc=3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.