7-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2011 жыл
Комментарий/решение:
Данное решение неверно. Центр поворотной гомотетии, переводящий AC в BD, является точкой Микеля прямых AC,BD,AB,CD, то есть является второй точкой пересечения AKC и BKD.
Пусть AB∩CD∈F и AD∩BC∈E и пусть EL∩BD∈Q,EL∩CD∈P
1) Докажем что EL симедиана ΔAEB .
Доказательство: по свойству симедианы треугольника, нужно доказать что DQBQ=ED2BE2
По теореме Менелая для треугольника BDC и секущей EQ получаем
CPDP⋅DQBQ⋅ECBE=1 (1)
Для треугольника ACD и EP учитывая что M середина DPCP=EDAE (2) из подобия EBD,EAC получаем EDEB=ECEA (3) из трех условии (1),(2),(3) получаем требуемое.
Так как BL симедиана то ∠DEN=∠QEB.
2) Пусть описанная окружность около ΔEBD пересекает EQ в точке L′ тогда ∠EDB=∠EL′B но ∠EDB=∠ECB тогда BQ′CM описанный , но EB⋅EC=EA⋅ED=EL′⋅EM и ADL′M описанный значит L′=L, то есть все три окружности описанные около EDB,ADM,BCM пересекаются в точке L.
3) Докажем что ΔNLB,ΔEAM подобны или BLBN=AEME (4) преобразуем, из вписанности EDLB выходит BLDE=BQEQ тогда (4) 2BQ⋅DEBD⋅EQ=AEME (5)
По теореме Менелая CEM,BKC и секущей BK,EQ соответственно
EQME−EQ=CKMK⋅BEBC и CMMK⋅BK−BQBQ=CEBE
откуда EQ=ME⋅CK⋅BEMK⋅BC+CK⋅BE и BQ=CM⋅BK⋅BECM⋅BE+CE⋅MK
Подставляя в (5) получаем
AE⋅BD⋅CK⋅(MK⋅CE+CM⋅BE)=AC⋅BK⋅ED⋅(MK⋅BC+CK⋅BE) (6)
Выражая все из различных треугольников ∠BAC=x, ∠BAD=y,∠ADC=z
AE=ABsin(z)sin(y−z), BD=ABsin(y)sin(z−x), CK=ABsin(x)⋅sin(y−x)sin(y+z−2x)⋅sin(z−x) MK=AB(sin(x)⋅sin(y−x)sin(y+z−2x)⋅sin(z−x)−sin(z)2sin(z−x)), CE=AB(sin(x)sin(z−x)+sin(y)sin(y−z)), CM=ABsin(z)(2sin(z−x), BE=ABsin(y)sin(y−z), AC=ABsin(z)sin(z−x), BK=ABsin(x)sin(y+z−2x) , ED=AB(sin(z)sin(y−z)+sin(y+z−x)sin(z−x)), BC=ABsin(x)sin(z−x)
подставляя в (6) получаем тождество .
4) из ∠DEN=∠QEB откуда ∠ENB=∠EMB но из пункта 3 получаем ∠BNL=∠EMA=∠ENB то есть KNLM вписанный.
Пусть P=AD∩BC,Q=AB∩CD.
Лемма. PQ - радикальная ось (ABCD),(PMN)
Доказательство. Пусть E=PQ∩AC. Тогда (A,C;K,E)=Q(A,D;QK∩AD,P)=−1Для удобства примем a=EA,c=EC,k=EK, тогдаac⋅k−ak−c=−1⇔k(a+c)=2acто есть EM⋅EK=EA⋅EC это показывает, что E лежит на радикальной окружностей (PMN) и (ABCD). Аналогично для F=BD∩PQ, то есть EF радикальная ось (PMN) и (ABCD)◻
Заметим, что P - радикальный центр окружностей (AMD),(BMC),(ABCD),(KML), следовательно pow(ABCD)P=pow(KML)P=PM⋅PL. С другой стороны из леммы pow(ABCD)P=pow(KMN)P, поэтому pow(KMN)P=PM⋅PL. Это означает, что L лежит на (KMN)◼
Рассмотрим инверсию в M с радиусом MC. Легко увидеть, что A,C остаются на местах, A′B"C′D′ все еще вписанный, а N′ - такая, что B′MDN′ - гармоника, причем K лежит на окружности этого четырехугольника. Спроецируем этот четырехугольник из K′ на B′C′, тогда достаточно показать, что (B′,C′,A′D′∩BC=Y,D′K′∩B′C′=X)=−1.
Это можно переформулировать следующим образом: (дальше упускаю штрихи в написании):
Возьмем X0 такую, что (B,C,Y,X0)=−1, тогда надо доказать что AC∩X0D=K, то есть что BMDK - вписанный. Спроецируем четверку из D на AC: Если X0D∩w(ABC)=E, то BCEA- гармоника. Дальше легко: поскольку гармоника, имеем ∠BMK=∠EMK=∠BAE=180−∠BDE=∠BDK, QED
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.