Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2011 жыл


Шеңберге іштей сызылған ABCD төртбұрышының диагоналдары K нүктесінде қиылысады; AC және BD диагоналдарының орталарын сәйкесінше M және N деп белгілейік. ADM және BCM үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер M және L нүктелерінде қиылысады. K, L, M және N нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (бұл нүктелердің бәрі әртүрлі деп есептеңдер).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
6 года 4 месяца назад #

Заметим, что L это центр спиральной симметрии переводящий отрезок AC к BD, значит в этой трансформации отрезок AM переходит в отрезок BN, откуда следует, что L,M,N,AMBN лежат на одной окружности.

пред. Правка 2   0
6 года 4 месяца назад #

Про Центр спиральной симметрии/ спирального подобия/ центр поворотной гомотетии http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=58020 и http://yufeizhao.com/olympiad/three_geometry_lemmas.pdf

  2
1 года 9 месяца назад #

Данное решение неверно. Центр поворотной гомотетии, переводящий AC в BD, является точкой Микеля прямых AC,BD,AB,CD, то есть является второй точкой пересечения AKC и BKD.

  2
4 года 8 месяца назад #

Пусть ABCDF и ADBCE и пусть ELBDQ,ELCDP

1) Докажем что EL симедиана ΔAEB .

Доказательство: по свойству симедианы треугольника, нужно доказать что DQBQ=ED2BE2

По теореме Менелая для треугольника BDC и секущей EQ получаем

CPDPDQBQECBE=1  (1)

Для треугольника ACD и EP учитывая что M середина DPCP=EDAE  (2) из подобия EBD,EAC получаем EDEB=ECEA  (3) из трех условии (1),(2),(3) получаем требуемое.

Так как BL симедиана то DEN=QEB.

2) Пусть описанная окружность около ΔEBD пересекает EQ в точке L тогда EDB=ELB но EDB=ECB тогда BQCM описанный , но EBEC=EAED=ELEM и ADLM описанный значит L=L, то есть все три окружности описанные около EDB,ADM,BCM пересекаются в точке L.

3) Докажем что ΔNLB,ΔEAM подобны или BLBN=AEME  (4) преобразуем, из вписанности EDLB выходит BLDE=BQEQ тогда (4) 2BQDEBDEQ=AEME (5)

По теореме Менелая CEM,BKC и секущей BK,EQ соответственно

EQMEEQ=CKMKBEBC и CMMKBKBQBQ=CEBE

откуда EQ=MECKBEMKBC+CKBE и BQ=CMBKBECMBE+CEMK

Подставляя в (5) получаем

AEBDCK(MKCE+CMBE)=ACBKED(MKBC+CKBE)  (6)

Выражая все из различных треугольников BAC=x, BAD=y,ADC=z

AE=ABsin(z)sin(yz),  BD=ABsin(y)sin(zx),  CK=ABsin(x)sin(yx)sin(y+z2x)sin(zx) MK=AB(sin(x)sin(yx)sin(y+z2x)sin(zx)sin(z)2sin(zx)),  CE=AB(sin(x)sin(zx)+sin(y)sin(yz)), CM=ABsin(z)(2sin(zx),  BE=ABsin(y)sin(yz),  AC=ABsin(z)sin(zx),  BK=ABsin(x)sin(y+z2x) , ED=AB(sin(z)sin(yz)+sin(y+zx)sin(zx)),  BC=ABsin(x)sin(zx)

подставляя в (6) получаем тождество .

4) из DEN=QEB откуда ENB=EMB но из пункта 3 получаем BNL=EMA=ENB то есть KNLM вписанный.

пред. Правка 3   1
1 года 9 месяца назад #

Пусть P=ADBC,Q=ABCD.

Лемма. PQ - радикальная ось (ABCD),(PMN)

Доказательство. Пусть E=PQAC. Тогда (A,C;K,E)=Q(A,D;QKAD,P)=1Для удобства примем a=EA,c=EC,k=EK, тогдаackakc=1k(a+c)=2acто есть EMEK=EAEC это показывает, что E лежит на радикальной окружностей (PMN) и (ABCD). Аналогично для F=BDPQ, то есть EF радикальная ось (PMN) и (ABCD)

Заметим, что P - радикальный центр окружностей (AMD),(BMC),(ABCD),(KML), следовательно pow(ABCD)P=pow(KML)P=PMPL. С другой стороны из леммы pow(ABCD)P=pow(KMN)P, поэтому pow(KMN)P=PMPL. Это означает, что L лежит на (KMN)

  0
3 месяца 1 дней назад #

Рассмотрим инверсию в M с радиусом MC. Легко увидеть, что A,C остаются на местах, AB"CD все еще вписанный, а N - такая, что BMDN - гармоника, причем K лежит на окружности этого четырехугольника. Спроецируем этот четырехугольник из K на BC, тогда достаточно показать, что (B,C,ADBC=Y,DKBC=X)=1.

Это можно переформулировать следующим образом: (дальше упускаю штрихи в написании):

Возьмем X0 такую, что (B,C,Y,X0)=1, тогда надо доказать что ACX0D=K, то есть что BMDK - вписанный. Спроецируем четверку из D на AC: Если X0Dw(ABC)=E, то BCEA- гармоника. Дальше легко: поскольку гармоника, имеем BMK=EMK=BAE=180BDE=BDK, QED