7-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2011 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. В трапеции $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины оснований $AD$ и $BC$
соответственно.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная, если известно, что точка
пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на отрезке $MN$.
б) Остается ли утверждение пункта а) в силе, если известно лишь, что
точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит
на прямой $MN$?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите все функции $f: \Bbb R \to \Bbb R $ такие, что для любых $x, y\in \Bbb R $ выполнено
равенство $f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y).$
(Здесь $ \Bbb R $ обозначает множество действительных чисел.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Обозначим через $ \Bbb N $ множество всех целых положительных чисел.
Упорядоченную пару $(a; b)$ чисел $a, b\in \Bbb N $ назовем интересной ,
если для любого $n\in \Bbb N $ существует $k\in \Bbb N $ такое, что число $a^k+b$
делится на $2^n$. Найдите все интересные упорядоченные пары чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите наибольшее возможное число множеств, удовлетворяющих одновременно
следующим условиям:
i) каждое множество состоит из 4 элементов;
ii) любые два различных множества имеют ровно два общих элемента;
iii) никакие два элемента не принадлежат одновременно всем множествам.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $n$ — целое число, $n > 1$. Элемент $a$ из множества
$M=\{1, 2, \dots, n^2-1\}$ назовем хорошим , если найдется элемент $b$
из $M$ такой, что число $ab-b$ делится на $n^2$. Далее, элемент $a$ назовем
очень хорошим , если $a^2-a$ делится на $n^2$. Пусть $g$ и $v$ — число
хороших и число очень хороших элементов в $M$ соответственно.
Докажите, что $v^2+ v\leq g\leq n^2-n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$,
точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Описанные
окружности треугольников $ADM$ и $BCM$ пересекаются в точках $M$ и $L$.
Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности (все эти
точки предполагаются различными).
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)