7-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2011 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABCD$ трапециясының

$AD$ және

$BC$ табандарының орталарын сәйкесінше

$M$ және

$N$ деп белгілейік.
а) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар

$MN$ кесіндісінің үстінде қиылысса, трапецияның теңбүйірлі екенін дәлелдеңдер.
ә) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар

$MN$ түзуінің үстінде қиылысса, а) пунктінің тұжырымы күшінде қала ма?
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Кез келген

$x,y \in \mathbb{R}$ үшін

$f(x + f(y)) = f(x - f(y)) + 4xf(y)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар (Мұнда

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиынын белгілейді).
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$\mathbb{N}$ арқылы натурал сандар жиынын белгілейік. Егер кез келген

$n\in \mathbb{N}$ үшін

$a^k+b$ саны

$2^n$ -не бөлінетіндей

$k \in \mathbb{N}$ табылса, онда

$a,b \in \mathbb{N}$ сандарының реттелген

$(a;b)$ парын қызық дейміз. Сандардың барлық қызық парларын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Төменгі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратын жиындардың ең көп санын табыңдар:
i) әрбір жиын 4 элементтен тұрады;
ii) кез келген әртүрлі екі жиынның дәл 2 ортақ элементі бар;
iii) барлық жиындарға тиісті екі элемент табылмайды.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Бүтін

$n$ саны берілген,

$n > 1$ . Егер

$ab-b$ саны

$n^2$ -қа бөлінетіндей

$M = \{1, 2, \ldots, n^2-1\}$ жиынының

$b$ элементі табылса,

$M$ жиынының

$a$ элементі жақсы деп аталады. Ал, егер

$a^2-a$ саны

$n^2$ -қа бөлінсе,

$a$ элементі өте жақсы деп аталады.

$M$ жиынының жақсы элементтерінің санын

$g$ деп, ал осы жиынның өте жақсы элементтерінің санын

$v$ деп белгілейік. Дәлелдеңдер:

$v^2+ v \le g \le n^2- n$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының диагоналдары

$K$ нүктесінде қиылысады;

$AC$ және

$BD$ диагоналдарының орталарын сәйкесінше

$M$ және

$N$ деп белгілейік.

$ADM$ және

$BCM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$M$ және

$L$ нүктелерінде қиылысады.

$K$ ,

$L$ ,

$M$ және

$N$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (бұл нүктелердің бәрі әртүрлі деп есептеңдер).
комментарий/решение(6)

результаты