7-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2011 жыл
а) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар MN кесіндісінің үстінде қиылысса, трапецияның теңбүйірлі екенін дәлелдеңдер.
ә) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар MN түзуінің үстінде қиылысса, а) пунктінің тұжырымы күшінде қала ма?
Комментарий/решение:
a) Пусть серединные OF,OE перпендикуляры пересекаются в точке O где O∈MN по замечательному свойству трапеции если AB∩CD∈G тогда G,N,M лежат на одной прямой, проведем высоты треугольника пусть они пересекаются в точке H пусть CH∩OF∈I, BH∩EO∈J тогда IOJH - параллелограмм, тогда если точка O∈MN тогда и H∈MN значит MN⊥BC так как OA=OB, OD=OC тогда и BOC равнобедренный , значит OB=OC=OA=OD откуда AB=CD .
б) Да, следует из решения в пункте a)
а) По замечательному свойству трапеции прямые AB,CD,MN пересекаются в одной точке, скажем K. Пусть P,Q,R,S - середины AB,CD,KB,KC.
Поскольку PQ||AB||RS, существует гомотетия в точке K, при которой PQ переходит в RS.
Пусть данные серперы пересекаются в точке E, с образом F, тогда из гомотетичности F∈MN, при том F - центр описанной окружности KBC.
Следовательно MN⊥BC, откуда очень легко следует требуемое.
б) Да, аналогично пункту (а)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.