Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2011 жыл


ABCD трапециясының AD және BC табандарының орталарын сәйкесінше M және N деп белгілейік.
а) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар MN кесіндісінің үстінде қиылысса, трапецияның теңбүйірлі екенін дәлелдеңдер.
ә) Егер трапецияның бүйір қабырғаларына тұрғызылған орта перпендикулярлар MN түзуінің үстінде қиылысса, а) пунктінің тұжырымы күшінде қала ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 8 месяца назад #

a) Пусть серединные OF,OE перпендикуляры пересекаются в точке O где OMN по замечательному свойству трапеции если ABCDG тогда G,N,M лежат на одной прямой, проведем высоты треугольника пусть они пересекаются в точке H пусть CHOFI, BHEOJ тогда IOJH - параллелограмм, тогда если точка OMN тогда и HMN значит MNBC так как OA=OB, OD=OC тогда и BOC равнобедренный , значит OB=OC=OA=OD откуда AB=CD .

б) Да, следует из решения в пункте a)

  7
2 года 3 месяца назад #

а) По замечательному свойству трапеции прямые AB,CD,MN пересекаются в одной точке, скажем K. Пусть P,Q,R,S - середины AB,CD,KB,KC.

Поскольку PQ||AB||RS, существует гомотетия в точке K, при которой PQ переходит в RS.

Пусть данные серперы пересекаются в точке E, с образом F, тогда из гомотетичности FMN, при том F - центр описанной окружности KBC.

Следовательно MNBC, откуда очень легко следует требуемое.

б) Да, аналогично пункту (а)

  0
6 месяца 26 дней назад #

оба решения сверху не работают для б)

контр-пример: достаточно взять AB перпендикулярно CD. Хотел бы прикрепить фото, но матол не разрешает.