Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

8-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2012 жыл


Теңдеудің барлық бүтін шешімдерін табыңыздар: 2x2y14=1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
8 года 7 месяца назад #

2x2y14=(2xy7)(2x+y7)=11=(1)(1)=(21)(2+1)=(2+1)(21)

1){2xy7=12x+y7=1.xZ

2){2xy7=12x+y7=1.xZ

3){2xy7=212x+y7=2+1.x=1,y=1

4){2xy7=2+12x+y7=21.x=1,y=1

5){2xy7=(2+1)2x+y7=(21).x=1,y=1

6){2xy7=(21)2x+y7=(2+1).x=1,y=1

пред. Правка 3   5
1 года 6 месяца назад #

решение довольно легкое если знать раскрытие 2x2=(y2+1)(y12y10+y8y6+y4y2+1) Докажем что они взаимнопросты

Пусть (y2+1) делится на p пусть они не взаимнопросты y12+y10+y8+y6+y4+y2 делится на p

тогда 2y10+2y6+2y21 делится на p

тогда 2y82y62y2+1 делится на p

4y6+2y21 делится на p

4y42y2+1 делится на p

6y21 делится на p

тогда 7 делится на p но p не может быть такого вида по теореме Жерара тогда они взаимнопростые квадраты но y2+1 не может равняться квадрату тогда он равняется двойке так только в этом случае он не делится на p=4k=1 тогда ответы x,y=±1,1

  0
1 года 6 месяца назад #

1) вы не пояснили откуда вы взяли выражения по типу 2y10+2y6+2y21 делится на p и вообще откуда вы получили конечное выражение

2) Откуда вы взяли что 7 кратно p и вообще зачем тогда использовать теорему Жирара ибо сразу тогда понятно что p это 7

3) На основании чего вы говорите что у последнего многочлена который вы получили не будет простых делителей вида 4k+1? На основании теоремы Жирара? Само определение этой теоремы не имеет с этим ничего общего. Может быть оно к сводится к тому благодаря каким то преобразованиям если так, то напишите пожалуйста.

пред. Правка 4   4
1 года 6 месяца назад #

Специально для вас (y12+y10+y8+y6+y4+y2)(y12y10+y8y6+y4y2+1) и делаем аналогично умножая y2+1 и отнимая

Делая эту операцию несколько раз получается что они не взаимно просты только в случае p=7

Поясняюсь я брал любой их простой делитель не обязательно 4k+1 мой косяк потом по теореме Жерара у нас y2+1 не может иметь делитель 7 откуда они простые

Я брал типо (y2+1) и (y12y10+y8y6+y4y2+1) они не вазимнопросты

  3
1 года 5 месяца назад #

Надеюсь вам теперь стало понятно