8-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2012 жыл
Комментарий/решение:
2x2−y14=(√2⋅x−y7)(√2⋅x+y7)=1⋅1=(−1)⋅(−1)=(√2−1)(√2+1)=(√2+1)(√2−1)
1){√2⋅x−y7=1√2⋅x+y7=1.⇒x∉Z
2){√2⋅x−y7=−1√2⋅x+y7=−1.⇒x∉Z
3){√2⋅x−y7=√2−1√2⋅x+y7=√2+1.⇒x=1,y=1
4){√2⋅x−y7=√2+1√2⋅x+y7=√2−1.⇒x=1,y=−1
5){√2⋅x−y7=−(√2+1)√2⋅x+y7=−(√2−1).⇒x=−1,y=1
6){√2⋅x−y7=−(√2−1)√2⋅x+y7=−(√2+1).⇒x=−1,y=−1
решение довольно легкое если знать раскрытие 2x2=(y2+1)(y12−y10+y8−y6+y4−y2+1) Докажем что они взаимнопросты
Пусть (y2+1) делится на p пусть они не взаимнопросты y12+y10+y8+y6+y4+y2 делится на p
тогда 2y10+2y6+2y2−1 делится на p
тогда 2y8−2y6−2y2+1 делится на p
4y6+2y2−1 делится на p
4y4−2y2+1 делится на p
6y2−1 делится на p
тогда 7 делится на p но p не может быть такого вида по теореме Жерара тогда они взаимнопростые квадраты но y2+1 не может равняться квадрату тогда он равняется двойке так только в этом случае он не делится на p=4k=1 тогда ответы x,y=±1,∓1
1) вы не пояснили откуда вы взяли выражения по типу 2y10+2y6+2y2−1 делится на p и вообще откуда вы получили конечное выражение
2) Откуда вы взяли что 7 кратно p и вообще зачем тогда использовать теорему Жирара ибо сразу тогда понятно что p это 7
3) На основании чего вы говорите что у последнего многочлена который вы получили не будет простых делителей вида 4k+1? На основании теоремы Жирара? Само определение этой теоремы не имеет с этим ничего общего. Может быть оно к сводится к тому благодаря каким то преобразованиям если так, то напишите пожалуйста.
Специально для вас (y12+y10+y8+y6+y4+y2)−(y12−y10+y8−y6+y4−y2+1) и делаем аналогично умножая y2+1 и отнимая
Делая эту операцию несколько раз получается что они не взаимно просты только в случае p=7
Поясняюсь я брал любой их простой делитель не обязательно 4k+1 мой косяк потом по теореме Жерара у нас y2+1 не может иметь делитель 7 откуда они простые
Я брал типо (y2+1) и (y12−y10+y8−y6+y4−y2+1) они не вазимнопросты
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.