Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

8-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2012 жыл


Төменгі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратын m және n бүтін сандары және f:RR функциясы табыла ма (мұнда R нақты сандар жиынын белгілейді):
i) кез келген xR үшін f(f(x))=2f(x)x2 теңдігі орындалады;
ii) mn және f(m)=n?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 9 месяца назад #

Допустим что найдется такой целый a для которого:

f(a)=a+k,kZ+0

Тогда:

Возьмем такие x и y:

f(x)=f(y)=c

f(c)=2cx2=2cy2x=y

f инъективная (1)

P(a)(a)

f(a+k)=2a+2ka2

f(a+k)=a+2k2

P(a)(f(a))

f(f(a+k))=2a+4k4ak2=a+3k6

a+k=a+(1×k)(1×0)

f(a+k)=a+(2×k)(2×1)

f(f(a+k))=a+(3×k)(3×2)

Допустим что:

Для всех чисел меньших b+1 выполняется:

f(i)(a+k)=a+((i+1)×k)(i2+i) (2)

f(i)(a+k)f(f(f(a+k)))i раз

Тогда:

f(b+1)(a+k)=2f(b)(a+k)f(b1)(a+k)2

f(b+1)(a+k)=2(a+bk+kb2b)(a+bkb2+b)2=a+bk+2k(b2+3b+2)

f(b+1)(a+k)=a+((b+2)×k)((b+1)2+b+1)

Значит по (2):

Если выражения выполнятся для b и b1 то также выполняется и для b+1

А поскольку оно выполняется для 2 и 3, то выполняется и для всех остальных натуральных чисел

Теперь перезапишем то что имеем:

f(b)(a+k)=a+((b+1)(kb))

Если:

k1

То:

Найдется b для которого:

f(b)(a+k)=a;(b=k)

По (1):

f(b+1)(a+k)=a+k

Но по (2):

f(b+1)(a+k)=ak2

Значит:

k=1

Из чего:

k=0

f(f(a))=2f(a)a2

a=a2

Значит:

Ну существует такой функции f:RR что:

f(f(a))=2f(a)a2 и mn;f(m)=n

Ответ: Нет, не существует