9-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2013 год

Найдите все нечетные натуральные $n > 1$ такие, что существует перестановка $a_1, a_2, \dots, a_n$ чисел $1, 2, \dots, n$, в которой при всех $k$, $1\leq k\leq n$, одно из чисел $a_k^2-a_{k+1}-1$ и $a_k^2-a_{k+1}+1$ делится на $n$ (здесь мы считаем $a_{n+1}=a_1$).