Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур дистанционного этапа

Перед тем, как приступить к решению задачи, Коля посмотрел на часы. Был второй час дня. Потратив на решение ровно час, Коля снова посмотрел на часы и заметил, что угол между часовой и минутной стрелками остался прежним. Когда Коля начал решать задачу?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: В 1 час $8\frac{2}{11}$ мин или в 1 час $40\frac{10}{11}$ мин.
Решение. Пусть в момент, когда Петя посмотрел на часы, было $x$ минут второго. Так как за минуту минутная стрелка проходит $6^\circ$, а часовая — $0,5^\circ$, то часовая стрелка в этот момент образовывала с направлением на 12 часов угол в $30^\circ+0,5x^\circ$, а минутная — угол в $6x^\circ$. За час минутная стрелка совершила полный оборот и оказалась на прежнем месте, а часовая повернулась на $30^\circ$. Очевидно, минутная стрелка будет направлена вдоль прямой, делящей пополам угол между двумя положениями часовой стрелки. Значит, $$6x^\circ = ((30^\circ+0,5x^\circ)+(60^\circ+0,5x^\circ))/2,$$ если минутная стрелка лежит внутри угла, образованного двумя положениями часовой, либо $$6x^\circ-180^\circ = ((30^\circ+0,5x^\circ)+(60^\circ+0,5x^\circ))/2,$$ если нет. Решая эти два уравнения, получаем два указанных выше ответа.