Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Есепті шығаруға кірісер алдында, Коля сағатқа қарап алды. Ол кезде сағат күндізгі 1-ден асқан болатын (бірақ сағат әлі екі болмаған). Есеп шығаруға дәл бір сағат жұмсағаннан кейін ол сағатқа тағы да қараған уақытта, сағаттың минут тілі мен сағат тілі арасындағы бұрыш өзгермегенін байқады. Сонда Коля есепті қандай уақытта шығара бастаған?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: В 1 час $8\frac{2}{11}$ мин или в 1 час $40\frac{10}{11}$ мин.
Решение. Пусть в момент, когда Петя посмотрел на часы, было $x$ минут второго. Так как за минуту минутная стрелка проходит $6^\circ$, а часовая — $0,5^\circ$, то часовая стрелка в этот момент образовывала с направлением на 12 часов угол в $30^\circ+0,5x^\circ$, а минутная — угол в $6x^\circ$. За час минутная стрелка совершила полный оборот и оказалась на прежнем месте, а часовая повернулась на $30^\circ$. Очевидно, минутная стрелка будет направлена вдоль прямой, делящей пополам угол между двумя положениями часовой стрелки. Значит, $$ 6x^\circ = ((30^\circ+0,5x^\circ)+(60^\circ+0,5x^\circ))/2, $$ если минутная стрелка лежит внутри угла, образованного двумя положениями часовой, либо $$ 6x^\circ-180^\circ = ((30^\circ+0,5x^\circ)+(60^\circ+0,5x^\circ))/2,$$ если нет. Решая эти два уравнения, получаем два указанных выше ответа.