Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1989 жыл

$A_1$, $A_2$, $A_3$ — три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Для удобства, положим $A_4 = A_1$, $A_5 = A_2$. При $n = 1$, $2$, $3$, $4$, $B_n$ — середина отрезка $A_nA_{n + 1}$, а $C_n$ — середина $A_nB_n$. При $n = 1$, $2$, $3$ прямые $A_nC_{n + 1}$ и $B_nA_{n + 2}$ пересекаются в точке $D_n$, а прямые $A_nB_{n + 1}$ и $C_nA_{n + 2}$ — в точке $E_n$. Найдите отношение площадей треугольников $D_1D_2D_3$ и $E_1E_2E_3$.

Комментарий/решение

По теореме Менелая, можно показать что $A_{2}E_{1}$ пересекает $A_{1}B_{3}$ в середине, так же по той же теореме можно показать что $A_{3},D_{2},E_{2}$ лежат на одной прямой и $A_{3}E_{2}$ пересекает $A_{2}B_{1}$ в середине , аналогично можно показать что $D_{1}D_{2} || E_{1}E_{3}, \ D_{2}D_{3} || E_{1}E_{2}, \ D_{1}D_{3} || E_{2}E_{3}$

откуда по теореме Менелая если $A_{2}C_{3}=x$ тогда $A_{2}D_{2} = \dfrac{4x}{7}, \ D_{2}C_{3} = \dfrac{3x}{7}, \ A_{2}E_{3} = \dfrac{4x}{5}, \ E_{3}C_{3} = \dfrac{x}{5}$ тогда

$\dfrac{A_{2}D_{2}}{A_{2}E_{3}} = \dfrac{5}{7}$ откуда $\dfrac{S_{D_{1}D_{2}D_{3}}}{S_{ E_{1} E_{2} E_{3}}} = (\dfrac{5}{7})^2 = \dfrac{25}{49}$