Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1991 жыл


G — центр тяжести треугольника ABC, M — середина стороны BC. Точки X и Y выбрали на сторонах AB и AC так, что XY параллельно BC и точки X,Y,G лежат на одной прямой. XC и GB пересекаются в точке Q, а YB и GC — в точке P. Докажите, что треугольники MPQ и ABC подобны.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
1 года 10 месяца назад #

ABC гомотетичен AXYXG=YG.

E,F,K,L середины CA,AB,YG,XG соответственно. По замечательному свойству трапеции для GYCB и GXBC: четверка точек E,K,P,M - коллинеарная, F,L,Q,M - также. ME,MF - средние линии, тем самым MP||AB,MQ||AC. Остается доказать соотношение MQQL=MPPK, что следует из подобия CQMXQL;BPMYPK:

MQQL=MCLX=MBKY=MPPK

Поэтому PQ||XY||BC. Тогда у треугольников ABC и MPQ соответственные стороны параллельны, что говорит о подобии и гомотетичности.