Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1991 жыл
G — центр тяжести треугольника ABC, M — середина стороны BC. Точки X и Y выбрали на сторонах AB и AC так, что XY параллельно BC и точки X,Y,G лежат на одной прямой. XC и GB пересекаются в точке Q, а YB и GC — в точке P. Докажите, что треугольники MPQ и ABC подобны.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
△ABC гомотетичен △AXY⇒XG=YG.
E,F,K,L− середины CA,AB,YG,XG соответственно. По замечательному свойству трапеции для GYCB и GXBC: четверка точек E,K,P,M - коллинеарная, F,L,Q,M - также. ME,MF - средние линии, тем самым MP||AB,MQ||AC. Остается доказать соотношение MQQL=MPPK, что следует из подобия △CQM∼△XQL;△BPM∼△YPK:
MQQL=MCLX=MBKY=MPPK
Поэтому PQ||XY||BC. Тогда у треугольников ABC и MPQ соответственные стороны параллельны, что говорит о подобии и гомотетичности.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.