Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1992 год

Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются окружности с центром $O$ в точках $A_1$ и $A_2$, и касаются друг друга в точке $A$. Докажите, что прямые $AO$, $A_1O_1$, $A_2O_2$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

В задании опечатка, должно спрашиваться о пересечении прямых $OA,O_1A_2,O_2A_1$ в одной точке. Из условия следует, что $A,A_1,A_2$ - точки касания вневписанной окружности, соответствующей точке $O$ треугольника $OO_1O_2$.

Тогда можно просто расписать теорему Чевы: $$\frac{O_1A_1*OA_2*O_2A}{A_1O*A_2O_2*AO_1}=\frac{r_1*r*r_2}{r*r_2*r_1}=1.$$