Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1992 год

Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Пусть $p$ — полупериметр треугольника $\left( {p = \dfrac{{a + b + c}}{2}} \right)$. Строят треугольник со сторонами $p - a$, $p - b$ и $p - c$ (если возможно), затем тоже самое делают с полученным треугольником и так далее. Найдите все треугольники, для которых данный процесс может продолжаться бесконечно.

Комментарий/решение

Ответ: правильные

Новый полупериметр равен $p/2$. Обозначим $x = a/p$, $y = b/p$, $z = c/p$; $x+y+z = 2$ и новый треугольник можно построить если $1 > x,y,z > 1/2$. При операции $x$ переходит в $2-2x$. Единственная неподвижная точка $x = 2-2x$, $x = 2/3 = y = z$. Иначе разность с $2/3$ будет расти и рано или поздно мы выйдем из интервала $(1/2, 1)$ противоречие.