Processing math: 16%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1993 жыл


Найдите все натуральные n, при которых уравнение xn+(2+x)n+(2x)n=0 имеет целое решение.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
4 года 11 месяца назад #

Ответ: n=1.

Проверим, будут ли целые корни при n=1. x1+(2+x)1+(2x)1=0 x+2+x+2x=0x=4Действительно, получили целый корень. Пусть n будет чётным числом. То есть n можно представить в виде n=2m,m=1,2,3,... Тогда получаем уравнение вида x2m+(2+x)2m+(2x)2m=0Есть такая теорема, что сумма квадратов может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Получается, чтобы уравнение решилось, нужно одновременное выполнение трёх равенств: x=0;2+x=0;2x=0. Этого не может быть, а значит, при чётном n левая часть обязательно будет положительной, то есть строго больше нуля.

Теперь рассмотрим нечётные степени n. То есть степень теперь имеет вид n=2m+1.Тогда получаем уравнение вида x2m+1+(2+x)2m+1+(2x)2m+1=0() Пусть x \equiv 0 \pmod {3}. Или же, более простым языком, n имеет остаток 0 при делении на 3. 0^{2m+1}+2^{2m+1}+2^{2m+1} \equiv {2\cdot{2^{2m+1}}} \equiv {2^{2m+2}}\pmod {3} (**) В средних школах не рассказывают про сравнения, поэтому поясню выражение (**). Я хочу посмотреть остатки при делении на 3 правой и левой части уравнения (*). Естественно, правая часть имеет остаток 0 при делении на 3. Так как правая часть и есть ноль. Если выяснится, что правая и левая части уравнения имеют разные остатки, при этом и левая, и правая части-целые, можно сделать вывод, что такого не бывает. Или по-другому, что ЦЕЛЫХ корней нет.

Далее, замечаем, что при делении на 3 есть только три варианта остатков: 0,1,2. Далее они циклично повторяются. Причём для проверки на остаток нет разницы, подставить в уравнение 1,4 или 7. Потому что у них все равно остатки при делении на 3 равны 1. Вернемся к (**). Проанализируем результат. 2^{2m+2} не может нацело (с остатком 0) делиться на 3, потому что все множители полученного числа- двойки, и среди них нет ни одной 3, а 2 и 3-взаимнопростые.То есть получили противоречие- правая часть делится на 3, левая-нет. Значит, x \ne 0 \pmod {3}

Рассмотрим случай x \equiv 1 \pmod {3}. Действуем аналогично.1^{2m+1}+3^{2m+1}+1^{2m+1}\equiv 1+0+1\equiv 2 \pmod {3} (***) Здесь тоже получили противоречие.

Замечаем, что при нечётной степени n=2m+1, при x\geq 2, левая часть превысит 0. Покажу это: Первое слагаемое при x\geq 2 будет положительным x^{2m+1}>0. Второе слагаемое тоже больше нуля строго. Третье же больше или равно нулю. Сумма положительная получается.

Замечаем, что при нечётной степени n=2m+1 и x<-2 левая часть будет отрицательной, то есть меньше 0. Это произойдёт потому, что каждое слагаемое будет отрицательным, а отрицательное число в нечётной степени отрицательно.

Осталось проверить возможность x=-2,-1,0,1. Ноль и единицу проверяли выше- не сошлось по остаткам

Но ведь -1\equiv 1 \pmod {3}- значит x\ne -1

Осталось доказать, что случай x=-2 приведёт к противоречию.

(-2)^{2m+1}+0^{2m+1}+4^{2m+1}\equiv 4^{2m+1}-2^{2m+1}\equiv 2^{4m+2}-2^{2m+1} \pmod {3} (****) Проанализируем (****). Вынесем за скобки общий множитель 2^{4m+2}-2^{2m+1}=2^{2m+1}\cdot{(2^{2m+1}-1)}. Для любых целых m, получаем 2^{2m+1}\equiv 2\pmod {3}. Отсюда (****):2\cdot{(2-1)}\equiv 2\pmod {3}

В заключение: получается, что n=1-единственное решение задачи.

  3
1 года 10 месяца назад #

x^{2n}+(2+x)^{2n}+(2-x)^{2n}=0

Поскольку:

x^2 \geq 0

Все числа равны нулю:

2+x=2-x=x=0 \rightarrow \varnothing

(2+x)^n \equiv (2-x)^n \pmod{2} \rightarrow x=2y

y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=\dfrac{0}{2^n}

y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=0

y^n+(1+y)^n+(1-y)^n \equiv 0 \pmod{y}

0+1^n+1^n \equiv 0 \pmod{y}

Аналогично x:

2 \mid y

y \mid 2

y=2,-2

(i) y=2

2^n+3^n=1 \rightarrow \varnothing

(ii) y=-2

2^n+1=3^n

n=1

Ответ: n=1

  0
1 года 10 месяца назад #

Неверно: (2+x)^n сравнимо с (2-x)^n

  0
1 года 10 месяца назад #

Они сравнимы по моду 2, разве не так?

Если вы не про это то я не понял вашего вопрос

  0
1 года 10 месяца назад #

Нет, это не так. Во-первых потому что вы скорее всего забыли, что вы рассматриваете нечетные n, тогда одна часть просто х, другая -х. Значит вы из воздуха без доказательства достали, что х четное

  0
1 года 10 месяца назад #

(2+x)^n \equiv (2-x)^n \pmod{2}

Что факт

Почему это факт?

Потому что:

2+x \equiv 2-x \pmod{2}

Значит:

(2+x)^n+(2-x)^n \equiv 2(2-x)^n \equiv 0 \pmod{2}

Из чего:

x^n \equiv 0 \pmod{2}

Я считал что это слишком очевидно по этой причине решил и не доказывать

Дам совет: попробуйте сами порешать задачу и только после этого судить решение других людей