Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1993 жыл
Комментарий/решение:
Ответ: n=1.
Проверим, будут ли целые корни при n=1. x1+(2+x)1+(2−x)1=0 x+2+x+2−x=0⇒x=−4Действительно, получили целый корень. Пусть n будет чётным числом. То есть n можно представить в виде n=2⋅m,m=1,2,3,... Тогда получаем уравнение вида x2m+(2+x)2m+(2−x)2m=0Есть такая теорема, что сумма квадратов может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Получается, чтобы уравнение решилось, нужно одновременное выполнение трёх равенств: x=0;2+x=0;2−x=0. Этого не может быть, а значит, при чётном n левая часть обязательно будет положительной, то есть строго больше нуля.
Теперь рассмотрим нечётные степени n. То есть степень теперь имеет вид n=2m+1.Тогда получаем уравнение вида x2m+1+(2+x)2m+1+(2−x)2m+1=0(∗) Пусть x \equiv 0 \pmod {3}. Или же, более простым языком, n имеет остаток 0 при делении на 3. 0^{2m+1}+2^{2m+1}+2^{2m+1} \equiv {2\cdot{2^{2m+1}}} \equiv {2^{2m+2}}\pmod {3} (**) В средних школах не рассказывают про сравнения, поэтому поясню выражение (**). Я хочу посмотреть остатки при делении на 3 правой и левой части уравнения (*). Естественно, правая часть имеет остаток 0 при делении на 3. Так как правая часть и есть ноль. Если выяснится, что правая и левая части уравнения имеют разные остатки, при этом и левая, и правая части-целые, можно сделать вывод, что такого не бывает. Или по-другому, что ЦЕЛЫХ корней нет.
Далее, замечаем, что при делении на 3 есть только три варианта остатков: 0,1,2. Далее они циклично повторяются. Причём для проверки на остаток нет разницы, подставить в уравнение 1,4 или 7. Потому что у них все равно остатки при делении на 3 равны 1. Вернемся к (**). Проанализируем результат. 2^{2m+2} не может нацело (с остатком 0) делиться на 3, потому что все множители полученного числа- двойки, и среди них нет ни одной 3, а 2 и 3-взаимнопростые.То есть получили противоречие- правая часть делится на 3, левая-нет. Значит, x \ne 0 \pmod {3}
Рассмотрим случай x \equiv 1 \pmod {3}. Действуем аналогично.1^{2m+1}+3^{2m+1}+1^{2m+1}\equiv 1+0+1\equiv 2 \pmod {3} (***) Здесь тоже получили противоречие.
Замечаем, что при нечётной степени n=2m+1, при x\geq 2, левая часть превысит 0. Покажу это: Первое слагаемое при x\geq 2 будет положительным x^{2m+1}>0. Второе слагаемое тоже больше нуля строго. Третье же больше или равно нулю. Сумма положительная получается.
Замечаем, что при нечётной степени n=2m+1 и x<-2 левая часть будет отрицательной, то есть меньше 0. Это произойдёт потому, что каждое слагаемое будет отрицательным, а отрицательное число в нечётной степени отрицательно.
Осталось проверить возможность x=-2,-1,0,1. Ноль и единицу проверяли выше- не сошлось по остаткам
Но ведь -1\equiv 1 \pmod {3}- значит x\ne -1
Осталось доказать, что случай x=-2 приведёт к противоречию.
(-2)^{2m+1}+0^{2m+1}+4^{2m+1}\equiv 4^{2m+1}-2^{2m+1}\equiv 2^{4m+2}-2^{2m+1} \pmod {3} (****) Проанализируем (****). Вынесем за скобки общий множитель 2^{4m+2}-2^{2m+1}=2^{2m+1}\cdot{(2^{2m+1}-1)}. Для любых целых m, получаем 2^{2m+1}\equiv 2\pmod {3}. Отсюда (****):2\cdot{(2-1)}\equiv 2\pmod {3}
В заключение: получается, что n=1-единственное решение задачи.
x^{2n}+(2+x)^{2n}+(2-x)^{2n}=0
Поскольку:
x^2 \geq 0
Все числа равны нулю:
2+x=2-x=x=0 \rightarrow \varnothing
(2+x)^n \equiv (2-x)^n \pmod{2} \rightarrow x=2y
y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=\dfrac{0}{2^n}
y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=0
y^n+(1+y)^n+(1-y)^n \equiv 0 \pmod{y}
0+1^n+1^n \equiv 0 \pmod{y}
Аналогично x:
2 \mid y
y \mid 2
y=2,-2
(i) y=2
2^n+3^n=1 \rightarrow \varnothing
(ii) y=-2
2^n+1=3^n
n=1
Ответ: n=1
Они сравнимы по моду 2, разве не так?
Если вы не про это то я не понял вашего вопрос
(2+x)^n \equiv (2-x)^n \pmod{2}
Что факт
Почему это факт?
Потому что:
2+x \equiv 2-x \pmod{2}
Значит:
(2+x)^n+(2-x)^n \equiv 2(2-x)^n \equiv 0 \pmod{2}
Из чего:
x^n \equiv 0 \pmod{2}
Я считал что это слишком очевидно по этой причине решил и не доказывать
Дам совет: попробуйте сами порешать задачу и только после этого судить решение других людей
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.