Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1995 жыл
Найдите все последовательности вещественных чисел a1,a2,…,a1995 удовлетворяющие неравенствам:
2√an−(n−1)≥an+1−(n−1)
и
2√a1995−1994≥a1+1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Сначала докажем неравенство:
an+1−(n−1)≥2√an+1−n
Заметим:
a2+b2≥2ab
a2=an−n,b2=1
Значит:
√a1≥√a2−1≥⋯≥√a1995−1994≥√a1
Значит:
√a1=√a2−1=⋯=√a1995−1994=√a1
a1=a2−1=⋯=a1995−1994
a+1≥2√a1
2√a1=2√a1995−1994≥a+1
a+1=2√a1
Случай равенства достигается при a1=1
Ответ: (a1,a2,…,a1995)→(1,2,…,1995)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.