Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год
Найдите наименьшее n такое, что не существует арифметической прогрессии из 1999 вещественных чисел, ровно n членов которой целые.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Назовем:
l−(n−1)− количество промежутков между целыми числами
k− промежуток между числами
m− разница двух соседних чисел
Т.е. если a целое то:
a+km также целое
Значит должны выполнятся 2 условия, независимо от выбора чисел i и j:
j+l(k+1)>1999
aj− первое целое число из последовательности
j∈[1,…,k+1]
i+k(l+1)≤1999
ai− аналогичен aj
i∈[1,…,k]
i=k,j=1
l(k+1)≥1999 (1)
(l+2)k≤1999 (2)
lk+l−(lk+2k)≥0
l≥2k
l(l2+1)≥1999
l(l+2)≥3998
(l+1)2≥3999
l≥63
Допустим: l<69
(1)→k≥30(l=68)
(2)→k≤29(l=65)
l=63,64
Данные два случая легко опровергнуть подставлением
Значит:
l≥69
69k≥1930
71k≤1999
k=28
Ответ: n=70
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.