Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год


Найдите наименьшее n такое, что не существует арифметической прогрессии из 1999 вещественных чисел, ровно n членов которой целые.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
1 года 11 месяца назад #

Назовем:

l(n1) количество промежутков между целыми числами

k промежуток между числами

m разница двух соседних чисел

Т.е. если a целое то:

a+km также целое

Значит должны выполнятся 2 условия, независимо от выбора чисел i и j:

j+l(k+1)>1999

aj первое целое число из последовательности

j[1,,k+1]

i+k(l+1)1999

ai аналогичен aj

i[1,,k]

i=k,j=1

l(k+1)1999 (1)

(l+2)k1999 (2)

lk+l(lk+2k)0

l2k

l(l2+1)1999

l(l+2)3998

(l+1)23999

l63

Допустим: l<69

(1)k30(l=68)

(2)k29(l=65)

l=63,64

Данные два случая легко опровергнуть подставлением

Значит:

l69

69k1930

71k1999

k=28

Ответ: n=70