Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2002 год

Пусть $x$, $y$, $z > 0$ и $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1$. Докажите, что $\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + yx} \geq \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z .$

Комментарий/решение

$$\blacktriangleright \forall x,y,z>0$$

$$\sqrt{x+zy}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy} \geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

$$\left\{ \begin{gathered} 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{zy}}\\ 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{y}+\frac{2}{\sqrt{xz}} \\ 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{z}+\frac{2}{\sqrt{xy}} \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 1\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{zy}}\\ 1\geq \frac{1}{y}+\frac{2}{\sqrt{xz}} \\ 1\geq \frac{1}{z}+\frac{2}{\sqrt{xy}} \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x}\geq \frac{1}{x^2}+\frac{2}{x\sqrt{zy}}\\ \frac{1}{y}\geq \frac{1}{y^2}+\frac{2}{y\sqrt{xz}} \\ \frac{1}{z}\geq \frac{1}{z^2}+\frac{2}{z\sqrt{xy}} \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{zy} \geq \frac{1}{x^2}+\frac{2}{x\sqrt{zy}} +\frac{1}{zy} \\ \frac{1}{y} +\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{y^2}+\frac{2}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{xz} \\ \frac{1}{z}+\frac{1}{xy}\geq \frac{1}{z^2}+\frac{2}{z\sqrt{xy}} +\frac{1}{xy}\\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{zy} \geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{zy}}\right)^2 \\ \frac{1}{y} +\frac{1}{xz}\geq \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)^2 \\ \frac{1}{z}+\frac{1}{xy}\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)^2\\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{zy}} \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{zy}} \\ \sqrt{\frac{1}{y} +\frac{1}{xz}}\geq \frac{1}{y}+\frac{1}{\sqrt{xz}} \\ \sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\\\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{zy}}+\sqrt{\frac{1}{y}+\frac{1}{xz}}+\sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}}\geq \underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}_{1}+\frac{1}{\sqrt{zy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{zy}}+\sqrt{\frac{1}{y}+\frac{1}{xz}}+\sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{zy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{\sqrt{xyz}}\left( \sqrt{x+zy}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\right)\geq \frac{1}{\sqrt{xyz}}\left( \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sqrt{x+zy}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy} \geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\blacktriangledown$$

Засунем в квадрат сравнение. Получим что у нас все сократится, с первого условия используем что $xyz=xy+yz+zx$, и тоже сократим, останется лишь сравнение: $$2( \sum \sqrt{(x+yz)(y+xz)}) | 2(\sum x\sqrt{yz} + \sum1\sqrt{yz}).$$

Сократим на двоечку и просто используем Коши для левого уравнения!

Жаңа айнымалылар енгіземіз: $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$.

$a+b+c=1$ шартын қанағаттандыратын $a,b,c>0$ сандары үшін

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

теңсіздігін дәлелдеу қажет болады.

$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\ge a+\sqrt{bc}$

$\Rightarrow$

$\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}$

$\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}$

$\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}$

Соңғы үш теңсіздікті қоссақ,

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

теңсіздігін аламыз.

Заметим что $\sqrt{xyz}= \dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{yx}}{\sqrt{z}}$ тогда $\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + yx} \geq \dfrac{\sqrt{yz}+x}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{xz}+y}{\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{yx}+z}{\sqrt{z}}$

$\sqrt {x + yz} \geq \dfrac{\sqrt{yz}+x}{\sqrt{x}}$

Переносим $\sqrt{x}$ и возводим в квадрат тогда

$xyz \geq yz +2x\sqrt{yz}$ заметим $xyz=yz+zx+xy$ сокращаем и $AM-GM$ в лоб