Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2002 год

Задача №1. Даны неотрицательные целые числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ . Пусть

$a = \left[ {\dfrac{{{a_1} + {a_2} + \dots + {a_n}}}{n}} \right],$ где

$[x]$ — целая часть числа

$x$ . Докажите, что

$a_1! a_2! \dots a_n! \geq (a!)^n$ . При каких

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ выполняется равенство?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел

$a$ и

$b$ такие, что

$\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$ и

$\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$ — целые числа.
комментарий/решение(3)

Задача №3. На сторонах

$AC$ и

$AB$ равностороннего треугольника

$ABC$ взяты точки

$P$ и

$Q$ соответственно так, что углы

$APB$ и

$CQA$ — острые. Пусть

$R$ — точка пересечения высот треугольника

$ABP$ ,

$S$ — точка пересечения высот треугольника

$AQC$ . Отрезки

$BP$ и

$CQ$ пересекаются в точке

$T$ . Известно, что

$TR = RS = ST$ . Найдите всевозможные значения углов

$CBP$ и

$BCQ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$x$ ,

$y$ ,

$z > 0$ и

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1$ . Докажите, что

$\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + yx} \geq \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z .$
комментарий/решение(4)

Задача №5. Найдите все функции

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что
(i)

$f(x) = 0$ для конечного числа значений

$x$ (возможно,

$f(x) \neq 0$ для всех

$x$ );
(ii)

$f(x^4 + y) = x^3f(x) + f(f(y)).$
комментарий/решение(6)