Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2002 жыл
Найдите все функции f:R→R такие, что
(i) f(x)=0 для конечного числа значений x (возможно, f(x)≠0 для всех x);
(ii) f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y)).
посмотреть в олимпиаде
(i) f(x)=0 для конечного числа значений x (возможно, f(x)≠0 для всех x);
(ii) f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y)).
Комментарий/решение:
Ваше решение не полное
Может найтись такой x который нельзя записать в виде f(y)
P(x,y)→(0,y)
f(y)=f(f(y)) (1)
P(x,y)→(1,0)
f(0)=0 (2)
P(x,y)→(x,0)
f(x4)=x3f(x) (3)
Используя (3) и (1) на изначальном выражении дает:
f(x4+y)=f(x4)+f(y)
Допустим:
a≠0
f(a)=0
P(x,y)→(a14,a)
f(2a)=0
P(x,y)→(a14,2a)
f(3a)=0
Аналогично:
Для любого натурального n:
f(an)=0⇒∅ по (i)
Значит:
f(a)=0 только при a=0 (4)
P(x,y)→(x,f(x4)−x4)
f(f(x4)−x4)=0 по (4) →f(x4)=x4
По (3):
x3f(x)=x4
x≠0
f(x)=x
x=0
(2) →f(0)=0
Ответ: f(x)=x
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.