Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2002 жыл


Найдите все функции f:RR такие, что
(i) f(x)=0 для конечного числа значений x (возможно, f(x)0 для всех x);
(ii) f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y)).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
7 года 9 месяца назад #

Равенство будет верно при любых x и y. А значит и при x=0.

f(04+y)=03f(0)+f(f(y)), или же f(y)=f(f(y)). Значит , f(x)=x или же f(x)=x . Проверкой убеждаемся в том, что удовлетворяет условию только f(x)=x

  0
1 года 11 месяца назад #

Ваше решение не полное

Может найтись такой x который нельзя записать в виде f(y)

  0
1 года 11 месяца назад #

Да и подставив f(x)=x выходит:

x4y=x4+y

пред. Правка 2   0
1 года 8 месяца назад #

P(x,y)(0,y)

f(y)=f(f(y)) (1)

P(x,y)(1,0)

f(0)=0 (2)

P(x,y)(x,0)

f(x4)=x3f(x) (3)

Используя (3) и (1) на изначальном выражении дает:

f(x4+y)=f(x4)+f(y)

Допустим:

a0

f(a)=0

P(x,y)(a14,a)

f(2a)=0

P(x,y)(a14,2a)

f(3a)=0

Аналогично:

Для любого натурального n:

f(an)=0 по (i)

Значит:

f(a)=0 только при a=0 (4)

P(x,y)(x,f(x4)x4)

f(f(x4)x4)=0 по (4) f(x4)=x4

По (3):

x3f(x)=x4

x0

f(x)=x

x=0

(2) f(0)=0

Ответ: f(x)=x

  0
1 года 10 месяца назад #

Вопрос 1: Как с натуральных перенеслись в инъективность во всех действительных

Вопрос 2: Почему если для натуральных (целых) f(k)=k, то и для всех x это верно?

пред. Правка 2   0
1 года 8 месяца назад #

Исправлено