Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2002 год

Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ такие, что $\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$ и $\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$ — целые числа.

Комментарий/решение

Заметим, что дроби симметричны. БОО $a \geq b$. Тогда так как $b^2+a \geq a^2-b \Rightarrow b^2+b \geq a^2-a \Rightarrow b \geq a-1$. Тогда возможны два случая $b=a, \, b=a-1$.

Случай 1. Подставляя $b=a$, получаем, что $\frac{a^2+a}{a^2-a}=\frac{a+1}{a-1}=1+\frac{2}{a-1} \in \mathbb{Z}$. Тогда $a-1 \ | \ 2 \Rightarrow a =2, \, a=3$. Отсюда решения $(a,b) = (2,2), \, (3,3)$.

Случай 2. Подставляя $b = a - 1$, получаем, что $\frac{a^2+a-1}{a^2-3a+1} = 1 + \frac{4a}{a^2-3a+1} \in \mathbb{Z}$. Так как $(a, a^2-3a+1) = 1$, то $a^2-3a+1 \ | \, 4$. Значит $a^2-3a+1 \in \{1, -1, 2, -2, 4, -4\}$. Решая эти квадратные уравнения, находим решения $(a, b) = (2, 1), \, (3, 2), \, (1, 2), \, (2,3)$.

$a^2+b\geq b^2-a \rightarrow a+b\geq (b-a)(a+b) \rightarrow 1 \geq b-a \rightarrow a+1 \geq b$

Аналогично:

$b+2 \geq a+1$

$\dfrac{b^2+a+b-a^2}{a^2-b} \in Z$

$\dfrac{(b-a+1)(a+b)}{a^2-b} \in Z$

И

$\dfrac{(a-b+1)(a+b}{b^2-a} \in Z$

$(i)a=b$

$\dfrac{a+b}{a^2-b} \in Z$

$3b\geq b^2 \rightarrow b=1,2,3$

$b \ne 1$

$(ii)a=b+1$

$\dfrac{2a+2b}{b^2-a}$

$5b+3 \geq b^2$

$b=1,2,3,4,5$

$b\ne 3,4,5$

Случай $a=b-1$ аналогичен

Ответ: $(a,b) = (2,2),(3,3),(2,3),(3,2),(1,2),(2,1)$

Смагуловская 3 задача 2023