Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2002 год

Даны неотрицательные целые числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. Пусть $a = \left[ {\dfrac{{{a_1} + {a_2} + \dots + {a_n}}}{n}} \right],$ где $[x]$ — целая часть числа $x$. Докажите, что $a_1! a_2! \dots a_n! \geq (a!)^n$. При каких $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ выполняется равенство?

Комментарий/решение

Все мелкие ашки не могут быть меньше главного а, и больше тоже. Равенство приходится когда все ашки равны. А теперь заметим что если возьмём какую то ашку в этом равенстве, вычтем от него единицу, то соответсвенно у другой ашки должна быть + единичка что бы первое равенство работало(сумма ашек делённая на н). Но при такой операции, наше полученное произведение больше изначального, и так можно делать бесконечно, получаем что можно сделать любой расклад ашек прибавляя и вычитая единичку у одной и другой.