Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2008 жыл
Комментарий/решение:
Заметим, что из условия задачи следует: x^0+x^b+...+x^{ab} \equiv x^0+x^1+...+x^a \pmod {x^c-1}. (x^0+x^b+...+x^{ab})(x^b-1)(x-1) \equiv (x^0+...+x^a)(x^b-1)(x-1) \pmod {x^c-1}.
(x^{ab+b}-1)(x-1) \equiv (x^{a+1}-1)(x^b-1) \pmod {x^c-1}
x^{ab+b+1}-x^{ab+b}-x \equiv x^{a+1+b}-x^{a+1}-x^{b} \pmod {x^c-1}
Теперь пусть P, Q, R остатки при делении чисел ab+b+1, a+1, b на c, и p, q, r остатки при делении чисел a+1+b, ab+b, 1 на c.
Рассмотрим многочлен x^{P}+x^{Q}+x^{R}-x^{p}-x^{q}-x^{r}. Его степень меньше чем c. Поскольку он делиться многочлен степени c, то он равен нулю. Значит {P, Q, R} совпадают {p, q, r}. Откуда легко вывести противоречие.
Пойдем от обратного:
\{1,2,\dots,a\} \equiv \{r_1,r_2,\dots,r_a\} \pmod{c}
bi \equiv 1 \pmod{c} \rightarrow (b,c)=1
Тогда:
\{a+1,\dots,c-1\} \equiv \{r_{a+1},\dots,r_{c-1}\}
r_{c-1} \equiv c-b \pmod{c}
c-b \geq a+1 \rightarrow c>a+b
b<c \rightarrow b \leq a
a+b \geq 2b<c \rightarrow 2b \in \{1,2,\dots,a\} \rightarrow a\geq 2b
a+b \geq 3b, 3b \in \{1,2,\dots,a\}
Аналогично:
a\geq 4b,5b,\dots,ab \rightarrow 1\geq b \rightarrow \varnothing
Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.