Processing math: 34%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2008 жыл


a, b және c сандары 0<a<c1 және 1<b<c болатындай бүтін сандар болсын. Барлық k (0ka) үшін rk арқылы (0rk<c) kb санын c-ға бөлгендегі қалдықты белгілейік. Келесі екі {r0,r1,r2,,ra} және {0,1,2,,a} жиындары әртүрлі екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 9 месяца назад #

Заметим, что из условия задачи следует: x^0+x^b+...+x^{ab} \equiv x^0+x^1+...+x^a \pmod {x^c-1}. (x^0+x^b+...+x^{ab})(x^b-1)(x-1) \equiv (x^0+...+x^a)(x^b-1)(x-1) \pmod {x^c-1}.

(x^{ab+b}-1)(x-1) \equiv (x^{a+1}-1)(x^b-1) \pmod {x^c-1}

x^{ab+b+1}-x^{ab+b}-x \equiv x^{a+1+b}-x^{a+1}-x^{b} \pmod {x^c-1}

Теперь пусть P, Q, R остатки при делении чисел ab+b+1, a+1, b на c, и p, q, r остатки при делении чисел a+1+b, ab+b, 1 на c.

Рассмотрим многочлен x^{P}+x^{Q}+x^{R}-x^{p}-x^{q}-x^{r}. Его степень меньше чем c. Поскольку он делиться многочлен степени c, то он равен нулю. Значит {P, Q, R} совпадают {p, q, r}. Откуда легко вывести противоречие.

  0
1 года 11 месяца назад #

Пойдем от обратного:

\{1,2,\dots,a\} \equiv \{r_1,r_2,\dots,r_a\} \pmod{c}

bi \equiv 1 \pmod{c} \rightarrow (b,c)=1

Тогда:

\{a+1,\dots,c-1\} \equiv \{r_{a+1},\dots,r_{c-1}\}

r_{c-1} \equiv c-b \pmod{c}

c-b \geq a+1 \rightarrow c>a+b

b<c \rightarrow b \leq a

a+b \geq 2b<c \rightarrow 2b \in \{1,2,\dots,a\} \rightarrow a\geq 2b

a+b \geq 3b, 3b \in \{1,2,\dots,a\}

Аналогично:

a\geq 4b,5b,\dots,ab \rightarrow 1\geq b \rightarrow \varnothing

Ч.Т.Д.