Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2008 жыл
ABC үшбұрышында ∠A<60∘. AB және AC қабырғаларынан CA+AX=CB+BX және BA+AY=BC+CY теңдіктері орындалатындай X пен Y нүктелері алынсын. Жазықтықтағы P нүктесі үшін PX⊥AB и PY⊥AC шарттары орындалады. ∠BPC<120∘ екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Несложно заметить, что из равенства CA+AX=CB+BX следует, что X точка касания вневписанной окружности с AB. Аналогично Y точка касания вневписанной окружности с AC. Тогда если A1,B1,C1 точки касания вписанной окружности со сторонами BC,AC,AB, а I инцентр и O центр описанной окружности. Известно что, AX=BC1,AY=CB1. Тогда O середина PI. Это следует из теоремы Фалеса. Значит ∠BPC<∠BOC=2⋅∠BAC<120∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.