Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2008 жыл


ABC үшбұрышында A<60. AB және AC қабырғаларынан CA+AX=CB+BX және BA+AY=BC+CY теңдіктері орындалатындай X пен Y нүктелері алынсын. Жазықтықтағы P нүктесі үшін PXAB и PYAC шарттары орындалады. BPC<120 екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 3 месяца назад #

Несложно заметить, что из равенства CA+AX=CB+BX следует, что X точка касания вневписанной окружности с AB. Аналогично Y точка касания вневписанной окружности с AC. Тогда если A1,B1,C1 точки касания вписанной окружности со сторонами BC,AC,AB, а I инцентр и O центр описанной окружности. Известно что, AX=BC1,AY=CB1. Тогда O середина PI. Это следует из теоремы Фалеса. Значит BPC<BOC=2BAC<120.