Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2011 жыл


Төмендегі екі шартты қанағаттандыратын барлық f:RR функцияларын анықтаңдар (мұнда R арқылы нақты сандар жиыны белгіленген):
(1) Кез келген нақты x үшін f(x)<M болатын нақты M саны табылады.
(2) Кез келген нақты x,y үшін f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy) теңдігі орындалады.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   5
3 года 11 месяца назад #

Ответ:1)f(x)0,2)f(x)=0,x0 и f(x)=2x,x<0

Пусть P(x,y):f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)

P(0,x):xf(0)=f(0)f(0)=0

P(x,1):f(xf(1))=xf(1), если f(1)0 , то f(x)=f(xf(1)f(1))=xf(1)f(1)=x, что противоречить (1).

Значит f(1)=0

P(1,x):f(f(x))=2f(x)(1)

Из (1)fn+1(x)=2nf(x),nN

[fn(x)=f(f(...(f(x)...), тоесть функция f взятая n - раз]

Откуда если f(x)>0 для некоторого xR, то f(x) - неог. функция, что противоречить (1).

Значит f(x)0. Заметим, что f(x)0, удовлетворяет условиям.

Далее пусть f(k)<0, для некоторого kR

Если f(x0)=0 , то P(k,x0):x0f(k)=f(x0k)x00

Значит f(x)<0, для x<0(2)

Просуммируем два равенства P(x,1x) и P(1x,x):0=f(1xf(x))+f(xf(1x))0+0

Значит f(xf(1x))=f(1xf(x))=0,xR

Заметим, что для x>0:y=1xf(x)0 и f(y)=0, откуда из (2)y=0,x>0

Значит f(x)=0,x0

x>0,P(1,x):xf(1)=f(x)(3)

Из (2)f(1)<0, так как 1<0

Подставим в (3)x=f(1)f(f(1))=(f(1))f(1)

Из (1)f(f(1))=2f(1)

Откуда 2f(1)=(f(1))f(1)f(1)=2

Тогда (3)f(x)=2x,x>0

Замечание: Так как для xR,x0 : f(1xf(x))=0, то

P(x,1xf(x)):f(x)2x=f(f(x))=2f(x)

Значит f(x)=0 либо f(x)=2x, для xR