Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год
Пусть P — является внутренней точкой треугольника ABC,
а D, E и F — точки пересечения прямой AP и стороны BC
треугольника, прямой BP и стороны CA, прямой CP и стороны AB,
соответственно. Докажите, что площадь треугольника ABC равна 6,
если площадь каждого треугольника PFA, PDB и PEC равна 1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть [PCD]=x,[PAE]=y,[PBF]=z. По теореме Чевы xyz=1. Также CPPF=x+1z=y+1, поэтому x+1=yz+z (аналогично y+1=zx+x и z+1=xy+y). Если x=1, то мы можем получить x=y=z=1. В противном случае WLOG x>1 и y,z<1 или x<1 и y,z>1. В первом случае 2<x+1=yz+z<2, а во втором 2>x+1=yz+z>2, противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.