Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год


Пусть P — является внутренней точкой треугольника ABC, а D, E и F — точки пересечения прямой AP и стороны BC треугольника, прямой BP и стороны CA, прямой CP и стороны AB, соответственно. Докажите, что площадь треугольника ABC равна 6, если площадь каждого треугольника PFA, PDB и PEC равна 1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
1 года 4 месяца назад #

Пусть [PCD]=x,[PAE]=y,[PBF]=z. По теореме Чевы xyz=1. Также CPPF=x+1z=y+1, поэтому x+1=yz+z (аналогично y+1=zx+x и z+1=xy+y). Если x=1, то мы можем получить x=y=z=1. В противном случае WLOG x>1 и y,z<1 или x<1 и y,z>1. В первом случае 2<x+1=yz+z<2, а во втором 2>x+1=yz+z>2, противоречие.