Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

14-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2014 жыл


Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты ABC үшбұрышының сырттай сызылған ω шеңберіне A және B нүктелерінде жүргізілген жанамалар S нүктесінде қиылысады. MAB қабырғасының ортасы, ал HABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі болсын. HA түзуі CM және CS түзулерін сәйкесінше Ma және Sa нүктелерінде қисын. Дәл сол сияқты Mb және Sb нүктелерін анықтаймыз. MaSb және MbSaMaMbH үшбұрышының биіктіктері екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть AC>CB, и AA1, BB1 — высоты треугольника ABC. Известным фактом является то, что ACM=SCB (это факт известен как свойство симедианы). Так как HAC=HBC, то SaMaMb=HAC+ACM=HBC+SCB=MbSbC, то есть точки Ma, Mb, Sa, Sb лежат на одной окружности. Докажем, что MaSbHMb. Проведем перпендикуляр к прямой CM в точке C. Пусть AA1=A2, BB1=B2, а X и Y — точки на прямой такие, что AXCMBY. Тогда CX=CY. Имеем: CXCB2=CB1CA=CA1CB=CYCA2, откуда CB2=CA2, то есть прямая CM лежит на серединном перпендикуляре отрезка A2B2. Следовательно, MbSbC=SaMaMb=CMaB2, откуда точки B2, C, Sb, Ma также лежат на одной окружности. Значит, MaSbB2=MaCB2=90. Перпендикулярность прямых MbSa и HMa доказывается аналогично.

пред. Правка 2   4
4 года 9 месяца назад #

Без ограничения общности примем, что AC<BC.

Пусть основания высот в ABC из точке A,B соответственно A1,B1

Примем обозначения :

AC=b,BC=a,BAC=α,ABC=β,ACB=γ,BCM=x,ACM=y.

Так как CMмедиана, то sinxsiny=ba

Заметим, что CS симедиана,

откуда ACS=BCM=x и BCS=ACM=y.

Докажем, что SaMbBCHA1HB=SaA1MbB,

но HA1HB=cosBHA1=cosγ.

Тогда достаточно доказать, что SaA1MbB=cosγ.

Заметим, что CA1=bcosγ,CB1=acosγ,AA1=bsinγ,BB1=asinγ.

Отметим, что CSa=CA1cosBCSa=bcosγcosy

Так же CMb=CB1cosB1CMb=acosγcosy

Заметим, что в SaCA1: SaA1=CSasiny

По т. Синусов в MbBC:MbB=CMbsinCBMbsinx=CMbcosγsinx

Тогда SaA1MbB=CSasinyCMbcosγsinx=CSaCMbsinysinxcosγ=basinysinxcosγ=cosγ

откуда SaMbBCSaMbHMa, так как BCHMa.

Аналогично SbMaHMb.

пред. Правка 2   1
9 месяца 17 дней назад #

A1B1AB=T и проведем высоту C1 . Переформулируем условие и докажем что CSbSa симедиана. Очевидно что TH перпендикулярно медиане в точке F.Заметим что

1=(T,C1;B,A)H=(F,C;Mb,Ma) отсюда очевидно что CSaSb колинеарны.

И так как A1SaC=CMbB1 значит A1CSa=MCB1 отсюда CSbSa симедиана.