Processing math: 17%

13-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2013 жыл


N — натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал m, n сандары үшін f(f(m)f(n)+m)=f(mf(n))+f(m) шартын қанағаттандыратын барлық кемімейтін f:NN функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   6
4 года 9 месяца назад #

Ответ: f(n)=n,nN

Допустим f ограниченная функция.

Пусть max, но тогда P(A,1):f(f(A)f(1)+A)=f(Af(1))+f(A)>f(A)

что противоречить предположению. Значит f- неограниченная функция.

\quad

Заметим, что f(f(m)f(n)+m)>f(mf(n)), откуда f(m)f(n)+m>mf(n)\implies m>f(n)(m-f(m)) так как. f- неубывающая функция.

\quad

Если f(t)<t, для некоторого t\in\mathbb N, то t>f(n)(t-f(t))\implies \frac{t}{t-f(t)}>f(n)

что невозможно, ведь f- неограниченная функция.

Откуда f(n)\ge n, \forall n\in\mathbb N

\quad

Пусть f(1)=c. Тогда

P(m,1):f(m)c+m\le f(f(m)c+m)=f(mc)+f(m) \iff f(mc)\ge f(m)(c-1)+m\quad (1)

Так же отметим

P(1,m):f(cf(m))\le f(cf(m)+1)=f(f(m))+c\quad (2)

Из (1) и (2) получаем, что f(f(m))(c-1)+f(m)\le f(f(m))+c \iff f(f(m))(c-2)+f(m)\le c

Если c\ge 2, то f(m)\le f(f(m))(c-2)+f(m)\le c

откуда f(m)\le c,\forall m\in\mathbb N, что невозможно.

Значит c=1, тогда P(1,n): f(f(n)+1)=f(f(n))+1 \quad (\mathrm i)

Так как f(1)=1, то индукцией, пользуясь (\mathrm i) легко доказать, что f(n)=n,\forall n\in\mathbb N