13-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2013 жыл
Комментарий/решение:
Ответ: f(n)=n,∀n∈N
Допустим f− ограниченная функция.
Пусть max, но тогда P(A,1):f(f(A)f(1)+A)=f(Af(1))+f(A)>f(A)
что противоречить предположению. Значит f- неограниченная функция.
\quad
Заметим, что f(f(m)f(n)+m)>f(mf(n)), откуда f(m)f(n)+m>mf(n)\implies m>f(n)(m-f(m)) так как. f- неубывающая функция.
\quad
Если f(t)<t, для некоторого t\in\mathbb N, то t>f(n)(t-f(t))\implies \frac{t}{t-f(t)}>f(n)
что невозможно, ведь f- неограниченная функция.
Откуда f(n)\ge n, \forall n\in\mathbb N
\quad
Пусть f(1)=c. Тогда
P(m,1):f(m)c+m\le f(f(m)c+m)=f(mc)+f(m) \iff f(mc)\ge f(m)(c-1)+m\quad (1)
Так же отметим
P(1,m):f(cf(m))\le f(cf(m)+1)=f(f(m))+c\quad (2)
Из (1) и (2) получаем, что f(f(m))(c-1)+f(m)\le f(f(m))+c \iff f(f(m))(c-2)+f(m)\le c
Если c\ge 2, то f(m)\le f(f(m))(c-2)+f(m)\le c
откуда f(m)\le c,\forall m\in\mathbb N, что невозможно.
Значит c=1, тогда P(1,n): f(f(n)+1)=f(f(n))+1 \quad (\mathrm i)
Так как f(1)=1, то индукцией, пользуясь (\mathrm i) легко доказать, что f(n)=n,\forall n\in\mathbb N
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.