Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

IX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2010 год


Для положительных действительных чисел a,b,c,d, удовлетворяющих условиям: a(c21)=b(b2+c2) и d1, докажите неравенство d(a1d2+b21+d2)(a+b)c2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
5 года назад #

a(c21)=b(b2+c2)c2(ab)=a+b3>0  ab>0,c2=a+b3ab.

d2=m болсын. Дәлелденуі тиіс теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз:

m(a1m+b21+m)2(a+b)2c24

m(aaam+b3b+bm)2(a+b)2(a+b3)4(ab)

Соңғы теңсіздікті дәлілдесек жеткілікті. Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша:

(aaam)+b3b+bm))2(a+b3)(aam+b+bm)

Енді m(a+bm(ab))(a+b)24(ab) теңсіздігін дәлелдесек жеткілікті. x=a+bab болсын.

m(a+bm(ab))(a+b)24(ab)4m(xm)x20(x2m)2