IX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2010 год
Для положительных действительных чисел a,b,c,d, удовлетворяющих условиям:
a(c2−1)=b(b2+c2) и d≤1, докажите неравенство
d(a√1−d2+b2√1+d2)≤(a+b)c2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a(c2−1)=b(b2+c2)⟺c2(a−b)=a+b3>0⇒ a−b>0,c2=a+b3a−b.
d2=m болсын. Дәлелденуі тиіс теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз:
m(a√1−m+b2√1+m)2≤(a+b)2c24
⇐m(√a√a−am+√b3√b+bm)2≤(a+b)2(a+b3)4(a−b)
Соңғы теңсіздікті дәлілдесек жеткілікті. Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша:
(√a√a−am)+√b3√b+bm))2≤(a+b3)(a−am+b+bm)
Енді m(a+b−m(a−b))≤(a+b)24(a−b) теңсіздігін дәлелдесек жеткілікті. x=a+ba−b болсын.
m(a+b−m(a−b))≤(a+b)24(a−b)⟺4m(x−m)≤x2⟺0≤(x−2m)2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.