Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 9 класс

Дан пятиугольник $ABCDE$ такой, что $AB = BC = CD = DE$, $\angle B=96^\circ $ $\angle C= \angle D=108^\circ $. Найдите $\angle E$.

Комментарий/решение

Из условия следует, что около четырехугольника $BCDE$ можно описать окружность . Положим что $N \in BD \cap CE$ . Видно что $\Delta BNE$ и $\Delta CDE$ подобны , а так как $BE=CE$ , получаем $BN=NE$ , так как $\angle ABD=60^{\circ}$ , значит $\Delta ABN$ равносторонний , откуда вытекает что $ \angle E = \angle 72^{\circ}+30^{\circ} = 102^{\circ} $.

Нарисуем линию BD , и получается что $\Delta$ BCD равнобедренный, угол CBD = CDB = (180 - 108) : 2 = 36 градусов. Угол BDE = 108 - 36 = 72 градуса, т.к. ABDE равнобокая трапеция ⇒ угол E = 180 - 72 = 108 градусов.